Основные законы алгебры логики

Законом логической теории является формула, принимающая значение «истина» при любой допустимой в данной теории интерпретации символов в ее составе.

В логике высказываний понятие закона совпадает с понятием тождественно-истинной формулы. Наиболее часто в практике рассуждений используются следующие законы.

1. Закон тождества А —> Л. Если высказывание истинно, то оно истинно.

Мысль не должна изменяться в процессе рассуждения.

Утверждение «идет дождь» (Л) должно оставаться утверждением о том, что идет дождь (Л), а не подменяться фразами вроде «на самом-то деле дождя нет — так, моросит немножко».

• 2. Закон непротиворечия -'(Л & -'А). Два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными. Допустим, что мы повстречали двух спорящих людей, один из которых говорит: «Да, это правда!» (Л), — а другой: «Нет, не правда!» (^Л). Разве обязательно знать, о чем они спорят, чтобы понять, что один из них лжет?
• 3. Закон исключенного третьего (Л v -*Л). Из двух противоречащих высказываний по крайней мере одно истинно.

Любое высказывание можно либо утверждать (Л), либо отрицать (-Л) — третьего не дано. Продолжая предыдущий пример, мы легко можем утверждать, что один из упомянутых в нем людей точно прав.

• 4. Закон двойного отрицания [Л = -•(-Л)]. Двойное отрицание высказывания равнозначно его утверждению. Предположим, что к нашим спорщикам подошел третий. Первый говорит: «Да!» (Л), — второй: «Нет!» (-*Л), — а третий заявляет второму: «Все-таки ты не прав!» (^_,_Л). Очевидно, что первый и третий утверждают одно и то же.
• 5. Закон Клавия (-•Л —> А) —> А. Если из отрицания суждения вытекает оно само, то такое суждение заведомо истинно. Рассмотрим суждение «существуют отрицательные суждения» (Л). Его отрицание — «не существует отрицательных суждений» (-•Л) — само является отрицательным, т. е. подтверждает истинность отвергаемого в нем положения (Л). Следовательно, исходное суждение является заведомо истинным (Л).
• 6. Закон Дунса Скота [~Л —> (Л —> В)|. Из заведомо ложного высказывания вытекает любое высказывание. В повседневных рассуждениях мы часто используем этот закон, чтобы подчеркнуть неправдоподобность, абсурдность каких-либо высказываний. Например, в высказывании «если он миллионер (Л), то я — китайский император (В)» подразумевается невозможность указанного лица оказаться миллионером («'Л).
• 7. Законы Де Моргана (—(Л & В) =^Л v ^В). Отрицание конъюнкции равнозначно дизъюнкции двух отрицаний. -(Л v В) = -'А & -'В. Отрицание дизъюнкции равнозначно конъюнкции двух отрицаний.

Например, отрицанием высказывания «он был на месте преступления (Л) и видел преступника (В)» будет «Он не был гам (~Л) или не видел преступника (~В)», а отрицанием высказывания «он посетил Париж (Л) или МонтеКарло (В)» будет «он не был ни в Париже (—*Л), ни в МонтеКарло (-'В)».

8. Закон контрапозиции [(Л —> В) = В —> —•Л)]. Если из одного высказывания вытекает второе, то из отрицания второго вытекает отрицание первого.

Например, высказывание «если Джонс виновен в этом преступлении (Л), то и Браун виновен (В)» равнозначно высказыванию «если Браун не виновен (-'В), то и Джонс не виновен (-•Л)».

• 9. Закон транзитивности импликации [(А —> В) & (В —"
• —> С)] —> (А —> С). Если из одного высказывания вытекает второе, а из него — третье, то и из первого высказывания вытекает третье. Например, из суждений «если приходит осень, опадают листья» и «если опадают листья, в лесу становится светлее» вытекает «если приходит осень, в лесу становится светлее».
• 10. Законы дистрибутивности:
  • • A v (В & С) = (A v В) & (A v В);
  • • А & (В v С) = (А & В) v (А & В).
• 11. Законы взаимовыразимости связок:
  • • А & В = -> (-'A v ^В)
  • • AvB = -(-A&-B);
  • • Л -« В = ^А v В;
  • • Л = В = (Л ^В)&(В^Л).