Метод последовательной релаксации

Воспользуемся методом Гаусса-Зейделя, записанным в форме.

.

или.

.

Удобная для реализации итерационная схема релаксационного метода имеет вид.

.

где щ — некоторый параметр.

Преобразуем ее к стандартной форме:

.

В свою очередь итерационная матрица.

.

В итоге матрица расщепления.

.

При указанная итерационная схема соответствует методу последовательной верхней релаксации, при — методу последовательной нижней релаксации.

Координатная форма метода последовательной релаксации:

Метод последовательной релаксации для системы с пятидиа-гональной матрицей:

Время выполнения итерации в этом случае.

.

Эти соотношения позволяют вычислить по столбцам элементы матрицы .

Эффективность такого метода достигается на этапе разложения матрицы, т. к. необходимо вычислить в этом случае только матрицу. Арифметические затраты в методе Холесского составляют длинных операций и n операций извлечения квадратного корня.

Существует другой вариант разложения симметрической положительно определенной матрицы, в котором удается избежать операций извлечения квадратного корня. В этом варианте вводится новая матрица по правилу.

.

причем — матрица, вычисленная ранее по схеме Холесского, — диагональная матрица с элементами матрицы. Матрица существует и является нижней треугольной с единичной диагональю. В этом случае.

.

Где.

.

Расчетные соотношения для элементов матриц и можно получить, как и прежде, привлекая правило перемножения матриц.

.

из которого следует, что.

т. к. матрица имеет единичную диагональ.

Такой алгоритм потребует вдвое большего числа перемножений, чем схема Холесского. Однако, если ввести замену переменных.

.

то расчетные соотношения примут вид.

Здесь сначала вычисляют вспомогательные величины, а затем их используют для определения искомых величин и. Количество умножений при такой организации алгоритма составляет приблизительно и не содержит операции извлечения квадратного корня.