Определение отношения заряда электрона к его массе

Существуют различные методы определения отношения е/т заряда электрона к его массе, в основе которых лежат результаты исследования движения электрона в электрическом и магнитном полях. Один из них — метод магнетрона. Основным элементом экспериментальной установки, которая используется в этом методе, является специальная двухэлектродная электронная лампа, электроды которой представляют собой коаксиальные (соосные) проводящие цилиндры. Воздух из лампы откачивают. Таким образом в ней создается достаточно глубокий вакуум, т. е. безвоздушное пространство. Лампу помещают внутри соленоида, который представляет собой цилиндрическую проволочную катушку. Когда по проволоке идет электрический ток, он создает внутри соленоида однородное магнитное поле, силовые линии которого направлены вдоль оси соленоида. Лампа располагается внутри соленоида так, что ее ось совпадает с осью соленоида. Внутренний цилиндр служит катодом, с поверхности которого в результате термоэлектронной эмиссии вылетают электроны, а внешний — анодом.

Когда между катодом и анодом приложено напряжение, в пространстве между ними создается электрическое поле, силовые линии которого суть радиальные прямые, перпендикулярные поверхности электродов. Электрон имеет электрический заряд — е. Поэтому на каждый электрон, вылетающий из катода лампы, действует со стороны электрического поля сила.

Рис. 5.9. Если векторы р_т и В направлены противоположно, то контур с током выталкивается из магнитного по.гя.

где Е — напряженность электрического поля. Так как воздух из лампы откачан и электроны беспрепятственно движутся под действием электрического поля вдоль его силовых линий от катода к аноду.

Когда в соленоиде идет ток, создающий внутри него магнитное поле, на электрон действует сила Лоренца.

которая называется магнитной в отличие от силы (5.20), называемой электрической. Индукция В магнитного поля направлена вдоль оси соленоида. Магнитная сила перпендикулярна и вектору индукции В, и вектору скорости электрона v. Поэтому в магнитном поле траектория электрона искривляется. Чем сильнее магнитное поле, тем больше кривизна траектории электрона. При значениях магнитной индукции больших некоторого значения В_ку, которое называют критическим, траектории электронов искривляются так сильно, что электроны не достигают анода и ток в лампе прекращается. Измерив критическое значение В_кр магнитной индукции, можно по нему определить отношение е/т. Теперь выведем формулу, связывающую эти величины.

Исследуем движение одного электрона в пространстве между электродами под действием электрического и магнитого полей. Для этого запишем второй закон Ньютона.

где v = v (2) — скорость электрона в момент времени /, m — его масса. Построим прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось.

z совпала с осью цилиндрических электродов. При этом вектор Е напряженности электрического поля будет перпендикулярен к оси z:

Так как вектор В магнитной индукции направлен вдоль оси г, его координаты.

Согласно определению векторного произведения, магнитная сила (5.21).

перпендикулярна вектору В и, следовательно, она также перпендикулярна к оси г. Таким образом, приходим к выводу, что проекция на ось z приложенной к электрону силы равна нулю. Поэтому по закону Ньютона равно нулю ускорение электрона вдоль оси г:

Отсюда следует, что Начальная скорость электрона, вылетающего с поверхности катода, определяется температурой катода и существенно меньше значений скорости, которую он приобретает при ускорении в электрическом поле. Поэтому можно положить.

Это означает, что каждый электрон движется в пространстве между электродами так, что его скорость всегда перпендикулярна к оси г, т. е. его траектория лежит в плоскости z = const. Без ограничения общности можно считать, что электрон, движение которого будем исследовать, перемещается в плоскости Для исследования движения электрона применим следующие два закона динамики материальной точки.

1. Производная по времени t от момента импульса.

частицы равна сумме моментов действующих на нее сил:

— момент силы F,.

2. Приращение полной энергии е частицы в течение некоторого времени равно работе А_нкс, произведенной за это время неконсервативными силами:

Наиболее просто движение электрона в рассматриваемом случае описывается при помощи полярных координат г и, а (рис.

5.10), которые связаны с декартовыми координатами х и у соотношениями.

Продифференцировав по времени эти со- Полярные коорди паты отношения, получим следующие выражения для декартовых координат вектора скорости:

При этом модуль скорости будет.

Найдем декартовы координаты вектора L момента импульса электрона. По определению.

где.

— проекция вектора L на ось г. Подстановка выражений (5.31) и (5.32) дает.

Найдем теперь проекции на ось z моментов электрической и магнитной сил. Момент электрической силы.

равен нулю, так как вектор Е коллинеарен радиус-вектору г{я, у, 0} электрона. Проекции вектора магнитной силы найдем по формуле.

где.

— проекция на ось z вектора момента магнитной силы. Подстановка сюда выражений (5.31) и (5.32) приводит к формуле.

Из уравнения (5.28) вытекает уравнение для проекции Ь_г вектора L на ось z:

Подстановка в это уравнение выражений (5.34) и (5.35) дает Это уравнение можно записать так:

Производные двух функций тождественно равны только тогда, когда сами функции отличаются друг от друга на постоянную величину С:

Постоянную С найдем из начальных условий. При вылете электрона с поверхности катода в момент времени t = 0 его скорость можно считать равной нулю. Как следует из формулы (5.33), при этом.

Так как в момент времени t = 0 электрон только вылетел с поверхности катода,.

где г_к — радиус катода. При помощи этих условий из равенства (5.37) найдем, что.

а само равенство (5.37) принимает вид.

На электрон действуют две силы. Электрическая сила является консервативной, т. е. может быть представлена в виде.

где.

— потенциальная энергия электрона, а <^(г) — потенциал электрического поля на расстоянии г от оси симметрии рассматриваемого устройства. Так как магнитная сила перпендикулярна вектору скорости, ее работа равна нулю: А_нкс = 0. Таким образом, на основании равенства (5.30) приходим к выводу, что полная энергия электрона.

при его движении не изменяется:

Используя формулы (5.33) и (5.42), это равенство можно записать так:

При t = 0, когда электрон только оторвался от поверхности катода, равенство (5.44) имеет вид.

Теперь равенство (5.44) можно записать так: где.

— разность потенциалов между точкой, в которой находится электрон в данный момент времени t и поверхностью катода.

Исключив производную а из системы уравнений (5.40) и (5.45), придем к уравнению.

которое содержит в себе две переменные величины гиг, характеризующие движение электрона.

Рис. 5.11.

Траектории движения электрона в магнетроне

Когда магнитная индукция В < В_кр} кривизна траектории электрона не велика. При этом все электроны достигают анода (кривая 1 на рис. 5.11) и амперметр регистрирует ток в цепи. В сильных магнитных полях при В > В_кр траектория электрона искривлена так, что он, не достигнув анода, возвращается на катод (кривая 2 на рис. 5.11). В этом случае сила анодного тока будет равна нулю. В точке D наибольшего удаления электрона от катода производная г равна нулю. Кривизна траектории и расположение точки D определяется значением магнитной индукции. Когда В = В_кр, траектория электрона касается поверхности анода, т. е. точка D находится от оси на расстоянии, равном радиусу анода: г = г_а. В этом случае уравнение (5.46) принимает вид.

где.

— анодное напряжение, т. е. разность потенциалов между анодом и катодом. Из этого равенства найдем выражение для удельного заряда электрона:

Для определения по этой формуле отношения заряда электрона к его массе необходимо знать радиусы г_к и г_в катода и анода, и измерить напряжение U_a и критическое значение В_кр магнитной индукции.

Рассмотрим способ измерения значения В_кр. Измерив силу тока i_c в соленоиде, индукцию магнитного поля внутри соленоида можно вычислить по формуле.

где N — число витков в соленоиде, / и d — его длина и диаметр. Для нахождения значения В_кр в лампе устанавливают некоторую разность потенциалов U_a между анодом и катодом. Включают ток в соленоиде и постепенно увеличивают его силу t_c. При этом увеличивается индукция В магнитного поле в лампе. Если бы все электроны покидали катод со скоростью равной нулю, то зависимость величины анодного тока г_а от величины В индукции магнитного поля имела бы вид, показанный на рис. 5.12 (пунктирная линия). В таком случае при В < В_кр все электроны, испускаемые катодом, достигали бы анода (i_e ф 0), а при В > В_кр ни один электрон не попадал бы на анод (i_e = 0).

Рис. 5.12. Зависимость силы тока i" между катодом и анодом от магнитной индукции В поля в соленоиде.

Однако некоторая некоаксиальность катода и анода, наличие остаточного газа в лампе, падение напряжения вдоль катода, неоднородность поля соленоида по высоте анода и т. д. приводят к тому, что критические условия достигаются для разных электронов при разных значениях В. Все же перелом кривой останется достаточно резким и может быть использован для определения В_кр. Измеряют значение тока i_c в соленоиде, при котором исчезает анодный ток. По формуле (5.48) вычисляют критическое значение В_кр магнитной инду кции.