Сохранение энергии. 
Механика

Рассмотрим малый элемент жидкости объемом Д V. Энергия этого элемента состоит из кинетической и потенциальной энергии частиц (атомов и молекул), находящихся в этом объеме. Скорость V этого элемента — это скорость его центра масс, а не скорость составляющих его частиц. Энергию элемента можно представить в виде суммы двух слагаемых.

где первое представляет кинетическую энергию, связанную с движением элемента как целого, второе — внутреннюю энергию элемента (энергию элемента в системе, в которой он покоится). Это кинетическая энергия хаотического движения частиц и их потенциальная энергия. Величина и представляет плотность внутренней энергии.

Полная энергия объема Кнайдется как сумма по элементарным объемам:

Будем следить за выделенным объемом жидкости. Его энергия будет, вообще говоря, изменяться. Мы видели, что энергия системы меняется за счет работы внешних сил. В сплошной среде, однако, возможна передача энергии и не механическим путем, когда энергия из объема просто «утекает» через ограничивающую его поверхность. Этот процесс называется теплопроводностью (в конечном итоге это также механический процесс передачи энергии хаотического движения атомов и молекул). Для изменения энергии выделенного объема получим.

В левой части этого равенства стоит изменение энергии выделенного объема за время с1/, первое слагаемое в правой части представляет работу за это время поверхностных сил, второе — объемных, третье — поток энергии за счет теплопроводности через поверхность, ограничивающую этот объем. Вектор # — плотность потока энергии — представляет энергию, протекающую за единицу времени через единичную ортогональную площадку. Вектор уд / есть смещение элемента поверхности или объема за время с1/, а работа есть скалярное произведение силы на смещение.