Волны де Бройля и волновая функция. 
Уравнение Шредингера

Проблему квантово-волнового дуализма обострила смелая и оригинальная идея французского физика Луи де Бройля (1892—1987, Нобелевская премия 1929 г.). Если волны имеют свойства частиц, почему не предположить и обратное: частицы имеют свойства волн? Такие идеи симметрии бывают плодотворными (вспомним уравнения Максвелла). Ту же формулу (9.7) де Бройль представил с новым акцентом:

Эта, казалось бы, элементарная школьная операция с дробью несла в себе революционное физическое содержание: частице с массой т и скоростью v соответствует некая длина волны А. Американцы К. Дэвиссон (1881 — 1958, Нобелевская премия 1937 г.), Л. Джермер (1896—1971) и английский физик Дж. П. Томсон (1892—1975, Нобелевская премия 1937 г.) получили неожиданное подтверждение идеи де Бройля! Дэвиссон и Джермер изучали рассеяние электронов на никеле. В результате аварии он стал монокристаллическим, т. е. приобрел правильную структуру, и электроны дифрагировали на нем, словно волны. Наука богата подобными открытиями, если пытливый ум не проходит мимо неожиданных результатов.

Для электрона, ускоренного напряжением U, получаем то²/2 = eU и.

где последнее выражение получено подстановкой значений заряда и массы электрона. Именно такая длина волны и проявилась в экспериментах. Немецкие физики О. Штерн (1888—1969, Нобелевская премия 1943 г.) и И. Эстерман (1900—1973) обнаружили дифракцию и у тяжелых частиц — нейтронов, протонов и даже атомов. В результате пучки частиц стали применять наряду с рентгеновскими лучами для изучения структуры вещества. Преимущество электронного микроскопа перед оптическим — в гораздо меньших длинах волн А, позволяющих видеть даже отдельные атомы. В то же время открытие волновой природы частиц породило кардинальную теоретическую проблему: оно поставило под сомнение динамику Ньютона! Не выдержав испытания большими скоростями, классическая динамика была заменена теорией относительности. Теперь она подверглась испытанию микромиром, где частицы расплываются в волны, и говорить об их положениях и траекториях становится невозможно. Это выглядело крушением основ.

Решение проблемы нашел в 1926 г. австрийский физик Э. Шредингер (1887—1961, Нобелевская премия 1933 г.) в виде уравнения, позволяющего определять эволюцию таких волн в пространстве и времени. Как и уравнения Ньютона или Максвелла, уравнение Шредингера не выводится, а постулируется (на основе логического анализа экспериментальных фактов). В простейшем случае оно имеет вид.

где U (x, t) — потенциальная энергия частицы массой т; i — мнимая единица. Уравнение (9.11) определяет волновую функцию vp частицы, зависящую от времени и координаты х. В более общем случае учитывают производные и по другим координатам.

В стационарных условиях V)/ и U от времени не зависят, и поэтому дифференциальное уравнение (9.11) становится однородным:

где Е — полная энергия системы. Значения функции у, удовлетворяющие уравнению Шредингера, называются собственными функциями, а значения энергии Е, при которых существуют решения этого уравнения, называются собственными значениями (см. параграф 7.1).

Для понимания их смысла рассмотрим частицу, которая не взаимодействует с другими. Тогда U = 0, и решение уравнения (9.11) принимает вид.

в чем легко убедиться, подставив его в уравнение (9.11). Из сопоставления выражений (9.13) и (7.70) очевидно, что это уравнение плоской волны. Следовательно, коэффициент при t есть ее частота со, откуда Е = ha> = hv, а коэффициент при х — волновое число k = 2п/Х, откуда следует равенство (9.9). Таким образом, уравнение Шредингера привело к двум прежним замечательным достижениям — Планка и де Бройля, которые были постулированы интуитивно, «ниоткуда».