Разностные схемы с положительной аппроксимацией для уравнений параболического типа

Во многих случаях в уравнениях, помимо гиперболической части, содержатся члены со вторыми пространственными производными (диффузия, вязкость, теплопроводность в уравнениях механики сплошных сред и др.). Наиболее распространенным подходом к решению таких в целом параболических уравнений является «расщепление по физическим процессам», в котором гиперболическая и параболическая части оператора аппроксимируются раздельно, в соответствии с наиболее рациональными для каждой из этих частей приемами (для гиперболической части, например, в соответствии с предыдущими построениями). Хотя в параболических уравнениях гладкость искомых решений обычно выше, чем в гиперболических, и соответственно требования к монотонности разностных схем несколько ниже, тем не менее и здесь в нелинейном случае возможны решения с большими градиентами (тепловые нелинейные волны, пограничные слои и тл.), когда монотонность используемой разностной схемы становится крайне необходимой.

В данном разделе предложенный ранее в работе [57] для гиперболических уравнений аппарат анализа разностных схем в пространстве их коэффициентов применяется к построению и исследованию положительных (монотонных) и близких к ним схем для параболических уравнений [65].

1. Рассмотрим простейшее уравнение теплопроводности.

Введем в области интегрирования разностную сетку, например равномер- 156.

Рис. 4.23.

ную по Г, х: х_т = mh, tⁿ = лт, /я = 0, ±1, .. , п = 0, 1…и обозначим, как принято, Vm = v (tⁿ, х_т).

Выберем произвольный сеточный шаблон, включающий некоторую совокупность узловых точек (tⁿ*^v, х_т + д), р = 0, ±1,…, v = 1, 0,-1,… (рис. 4.23), и запишем все допускаемые этим шаблоном линейные разностные схемы в виде.

где — неопределенные коэффициенты.

В дальнейшем ограничимся наиболее распространенным случаем симметричных разностных схем, т. е. будем полагать, что сеточный шаблон симметричен относительно прямой х =х_т и.

поскольку для уравнения (1) нет выделенного пространственного направления. Данное ограничение не является принципиальным, и построения, аналогичные рассмотренным ниже, могут быть выполнены также в случае несимметричных схем.

Используя разложение относительно какой-либо точки (для уравнений с постоянными коэффициентами, как известно, безразлично какой, например, относительно (tⁿ, х_т)) в ряд Тейлора и используя (1) и его следствия, получаем в качестве условий аппроксимации разностным выражением (2) дифференциального уравнения (1) следующие линейные относительно неопределенных коэффициентов (а?д = <*д при р = 0, 5д = 2с*д при р=?0) уравнения:

c, a = Е c^v_slloc^ = b_s, c,= fc^}, a={a" |, (4).

и > о. р

Здесь, аналогично разд. 1 для уравнений гиперболического типа, введено в рассмотрение линейное пространство коэффициентов разностных схем о = fa? j, векторы с, имеют ту же размерность, что и, а (определяемую числом узловых точек в шаблоне). Непосредственной проверкой можно убедиться, что при выполнении S соотношений (4) разностное выражение (2) аппроксимирует (1) с порядком 0(t^s, r*~^lh², ... ,.

Л²⁵, h² /т), и, для того чтобы имела место ''естественная" для уравнения (1) аппроксимация с порядком О (г, Л²), необходимо выполнение (4) при s = 0 и 1, т. е.

Используя (5), можно исключить два каких-либо коэффициента, например

и ввести пространство, а = I ос ? I (без узловых точек ц -0, у-Оид-1, v ⁼ 0) с размерностью на два меньше, чем ос. Любая точка в пространстве

а соответствует некоторой разностной схеме с порядком аппроксимации О (г, Л²), а условия более высокого порядка будут иметь вид, аналогичный (4). В частности, для второго порядка аппроксимации имеем.

Отметим, что в литературе вместо (8) часто используют ''укороченное" условие (7):

Отличие разностных схем (7), (8) от схем (7), (9) заключается в том, что при использовании (8) старшие члены ошибки аппроксимации имеют порядок 0(т, тЛ², Л⁴, Л⁶/г), т. е. OQi²) прит иО (Л⁴) прит ~Л², а при использовании (9) — соответственно О (Л⁴ /г, г, тИ², Л⁴, Л⁶ /г), т. е. OQr) независимо от связи сеточных параметров г ~ И или г ~ И².

Введение

линейных пространств коэффициентов разностных схем, а или, а позволяет формулировать и решать ряд задач, связанных с классификацией разностных схем, проводить их сопоставление не только по качественным признакам (устойчивости, монотонности и т. п.), но и количественно, опираясь на естественную гипотезу о том, что близким в пространстве, а точкам (в некоторой, например евклидовой, метрике) соответствуют близкие по своим свойствам (точности, устойчивости и т. п.) разностные схемы. Некоторые задачи такого рода рассматриваются в п. 2—5.

2. Важный для практики класс разностных схем составляют схемы с положительной аппроксимацией, впервые введенные в работе [55] для систем уравнений гиперболического типа (монотонные или мажорантные схемы — по другой терминологии), для которых.

Чтобы для произвольных сеточных шаблонов найти все разностные схемы такого рода, т. е. найти общее решение (5), (10), необходимо определить в пространстве коэффициентов a = |а?| координаты вершин замкнутого многогранника, задаваемого соотношениями (5), (10), и воспользоваться теоремой представления. Возможным вершинам выпуклого многогранного множества (5), (10) соответствуют векторы а_ь =.

= 10, … 0,, 0,. .. , 0,, 0,. .. , 01, в которых только две компоненты могут принимать ненулевые значения, определяемые из решения линейной системы (5):

Для выполнения условия 5^ > 0 необходимо и достаточно, чтобы < 0, т. е. в случае разностных схем с симметричными коэффициентами вершинам многогранника (5), (10) соответствуют разностные схемы, построенные на симметричных относительно прямой х = х_т сеточных шаблонах, причем таких, что две узловые точки {например {tⁿ+^v'_t Х/л*^) и {tⁿ*^Vl, x_m-*i,)) расположены выше параболы

а две другие {tⁿ*^v', x_w+/la) и {tⁿ*^v'_t х_ш_^₂) {одна, если она на прямой х = х_т) — ниже этой параболы (рис. 4.23). Здесь ц = {х — х_т)/И, v = (/ — tⁿ)/r следует рассматривать как непрерывные аргументы, о — параметр. Отметим, что для явных разностных схем при о = о, = = 2(1 — где (/!, у.) — ''крайний" узел сеточного шаблона, все узловые точки шаблона окажутся ниже параболы (11), т. е. явные схемы могут быть только условно монотонными.

Общее решение (5), (10) строится с использованием теоремы представления обычным в линейной алгебре образом:

т.е. в виде линейной комбинации с неотрицательными коэффициентами r_bi в сумме равными единице частных решений соответствующих вершинам замкнутого многогранника (5), (10).

В качестве примера рассмотрим типичный для (1) девятиточечный сеточный шаблон, представленный на рис. 4.23, и ''неотрицательные" разностные схемы с симметричными коэффициентами = а? на этом шаблоне. Неопределенными коэффициентами на этом шаблоне будут 5} = 2а}, So = <*о" а? = 2c*i, So¹ = <*о¹, af¹ = 2а!^-1 (остальные коэффициенты определяются условиями симметрии (3)). Исключая с использованием (6) коэффициенты, а и 5?, получаем трехпараметрическое семейство разностных схем со свободными параметрами ?}, а (c)¹, af¹, так что в трехмерном пространстве коэффициентов, а = 1 а, Sq¹, aj^-11 любая точка — есть некоторая схема с порядком аппроксимации 0(7, Л²). Раз;

Рис. 4.24.

Рис. 4.25.

Рис. 4.26 Рис. 4.27

ностные схемы с положительной аппроксимацией, коэффициенты которых удовлетворяют условиям (10), расположены внутри и на поверхности замкнутых многогранников с вершинами А_к, к = 1,2,.. , показанными на рис. 4.24−4.27 для значений о = 1/8, 3/8, ¾, 2 соответственно. Конфигурация этих областей, как видно, зависит от значений а, и их перестройка (исчезновение некоторых вершин, появление новых) происходит при значениях о = ¼ и ½, когда парабола (11) последовательно проходит через узловые точки (/"" *, х_т ± i) и (tⁿ, х_т + j) соответственно.

При 0 < о = Хт/Л² <¼ вершинами замкнутого многогранника (5), (10) являются точки с координатами.

(известная явная разностная схема, устойчивая и монотонная при о < ½, котооой соответствует точка О на оис. 4.24—4.27'!.

(наиболее часто употребляемая в расчетах неявная схема, которой соответствует точка Ау на рис. 4.24−4.27, устойчивая и монотонная при всех значениях а),

(схема Дюфорта — Франкелла, которой соответствует точка Л₂ на рис. 4.24, 4.25, абсолютно устойчивая, но условно аппроксимирующая и монотонная лишь в при о< ½). Остальные три вершины на рис. 4.24 имеют координаты: а¹, = 4а/(1 + 4а), а (c)¹ = 1/(1 + 4а), аГ* = 0 (точка А₆ на рис. 4.24— 4.27); а} = а₀^-1 = 0, af¹ = 2а/(1 — 2а) (точка А_ь на рис. 4.24): а/ = О, о (c)¹ =1 —4а, af¹ = 4а (точка А₉ на рис. 4.24).

При ¼ < a < ½ вершины А₈, А₉ исчезают и вместо них появляются новые вершины с координатами дс = (4a — 1)/4а, aj¹ = 0, а,"¹ = ¼а (точка А_а на рис. 4.25−4.27) и а = aj¹ =0, af¹ = (1 — 2a)/2а (точка А₇ на рис. 4.25).

При о> ½ вершины О, А₂, А_п исчезают, а появляется вершина (точка Аз на рис. 4.26,4.27) с координатами

(устойчивая и монотонная при a > ½ неявная схема, см.: [ИЗ]). Эта схема в сочетании с (13) при о< ½ аналогична известной для уравнений гиперболического типа схеме. Б. Карлсона (описанной, например, в работе [7]).

Для рассматриваемого девятиточечного шаблона (рис. 4.23) с использованием обычного критерия устойчивости разностных схем | <7 (оГ,"/?) | < 1.

на решениях вида 0%, = qⁿ exp (imy) в пространстве a «{a}, ato¹«5Г¹! можно выделить область (треугольную пирамиду) устойчивых схем

Нетрудно убедиться, что многогранник (5), (10) содержится внутри (17), так как (10) является достаточным условием устойчивости разностных схем (2).

3. Используя условия (7), (8) или (7), (9) в пространстве коэффициентов 3, можно выделить гиперплоскость разностных схем с порядком аппроксимации на решениях (1): 0(т², т/г², Л⁴, А⁶/т) либо 0(/г⁴/т, т², гЛ², Л⁴, Л^б/г).

В частности, для приведенного на рис. 4.23 сеточного шаблона пересечение плоскостей (7), (8) и (7), (9) с многогранниками разностных схем с положительной аппроксимацией показаны на рис. 4.24—4.25 штриховкой. Точкой В_х на плоскости (7), (9) отмечена известная, абсолютно устойчивая и монотонная при a < 1 схема Крэнка-Никольсона:

Видно, что плоскость (7), (9) при о > 1, а плоскость (7), (8) даже при меньших значениях, а не имеет пересечений с многогранником схем с положительной аппроксимацией (рис. 4.27). Поэтому представляет интерес найти ответ на следующие вопросы: существуют ли для каких-либо других сеточных шаблонов разностные схемы второго порядка точности на решениях (1), монотонные при произвольных значениях о, а если нет, то каковы для произвольных сеточных шаблонов все монотонные схемы второго (или более высокого) порядка точности на решениях (1) и условия (значения а), при которых они теряют монотонность (среди коэффициентов появляются отрицательные).

При решении этой задачи в качестве условия второго порядка аппроксимации по t для определенности воспользуемся ''укороченным" условием (7), (9) и ограничимся не более чем трехслойными разностными схемами, включающими значенияuJ, Vii^Ha временных слоях t = t^{n +1}, t = tⁿ, t = tⁿ~^l, поскольку разностные схемы сеше большим числом слоев по Г, по-видимому, практического интереса не представляют.

Используя условия аппроксимации (4) приз =0, 1,2 (т.е. (5), (7), (9)), а также условия неотрицательности коэффициентов <*?, т. е. (10), для вершин соответствующего замкнутого многогранного множества а_ь = (0, … …, 0, «Л;, 0,…, 0,, 0,…, 0,, 0,…, 01 имеем после несложных преобразований систему линейных уравнений (/ = 1, 2, 3).

и для выполнения (20) требуется, чтобы все Д/ имели одинаковый знак. Это возможно только в том случае, когда одно из = 1, а остальные два Vf < 0. Частными решениями (19), (20), т.е. вершинами соответствующего замкнутого многогранника в пространстве коэффициентов, являются разностные схемы, построенные на сеточных шаблонах, включающих рассчитываемую точку (tⁿ* *, x_m), две симметричные относительно прямой х = -х_т точки на слое t = t^{n +}, две симметричные точки на слое t лежащие выше параболы

и две точки (одна, если она расположена на прямой х = х_т) на слое t < n, лежащие ниже этой параболы. Общее решение задачи (19), (20) описывается соотношениями (12).

Очевидно, что при о> о" = pl/(l — ^*), где (д*,?*) — ''крайний" узел сеточного шаблона на слое г < t", все узловые точки сеточного шаблона с V ( < 0 окажутся ниже параболы (21) и множество положительных разностных схем второго (и более высокого) порядка точности на решениях (1) станет пустым. В частности, для показанного на рис. 4.23 сеточного шаблона а* = 1 достигается при д. = 1, v. = 0, что соответствует ситуации, изображенной на рис. 4.24−4.27.

Для этого сеточного шаблона множеством монотонных разностных схем с порядком аппроксимации 0(Л⁴/т, т², тЛ², Л⁴, Л⁶/т) является проекция четырехугольника BB^B^B_S при а< ½ и треугольника В]В₃В₅ при ½ < а < 1 на координатные плоскости {а?¹, 57 Ч, 15}, 5^¹ 1, /5}, 5j | в зависимости от того, какой коэффициент (5{, 57¹ или 5^ ^ответственно) исключается с помощью условия второго порядка точности (7), (9).

Следует еще раз отметить, что проведенный выше анализ относится к разностным схемам с порядком аппроксимации 0(Л⁴/т, т², тЛ², Л⁴, И⁶/г) на решениях (1). Для полных условий (4) при s = 0, 1, 2, т. е. для разностных схем с порядком аппроксимации ^(т², гЛ², Л⁴, Л⁶/г) на решениях (1), как видно из рис. 4.24 (нижняя заштрихованная плоскость), при определенных значениях о могут существовать и явные монотонные схемы (отрезок СС₂). Однако они практически не интересны, поскольку отсутствуют не только при больших а, но и при значениях а, близких к нулю (например, для шаблона из рис. 4.23 — при о< 1/6-и при о> 1/VT2).

4. Как показано в п. 2,3, при а> о, = М •/(1 — ?•) ^в разностных схемах более чем первого порядка точности по t среди коэффициентов а? в (2) появляются отрицательные, что приводит к возникновению осцилляций разностного происхождения на негладких решениях. Поскольку сильное расширение сеточного шаблона по ряду причин нежелательно (трудности построения расчетной схемы вблизи границ и т. п.), величина а₀ не может быть сделана существенно большей единицы, а расчеты желательно проводить при т ~ Л, т. е. о = Лт/Л² ~ 1/Л > 1. Поэтому представляют интерес следующие две сопряженные задачи.

Во-первых, среди монотонных разностных схем с порядком аппроксимации 0(т, А²) найти те, которые в пространстве коэффициентов, а = = {5? | при больших о расположены ближе всего к гиперплоскости схем с более высоким порядком точности.

Для этого необходимо решить типичную в линейном программировании задачу (5), (10):

Здесь вектор и скаляр Ъ₂ определяются, как и раньше, соотношениями (4). Решение этой задачи (соответствующий вектор, а = de_t) дает монотонную разностную схему с порядком аппроксимации О (г, А²), наиболее точную среди монотонных схем с таким порядком аппроксимации, поскольку, как нетрудно убедиться, величина г₂ прямо пропорциональна коэффициенту при старшем члене (v_rrrr) в первом дифференциальном приближении таких разностных схем. Для конкретного сеточного шаблона решение такой задачи не представляет трудностей.

Во-вторых, наоборот, среди разностных схем с более высоким порядком аппроксимации (например, с порядком 0(А⁴/т, т², тЛ², Л⁴, Л⁶/т), расположенных на гиперплоскости (7), (9)) найти те, которые в некотором смысле наиболее близки в пространстве коэффициентов к многограннику монотонных схем (к точке а =). Например, решить задачу минимизации величины.

когда гиперплоскость (7), (9) и замкнутое многогранное множество.

(5), (10) не пересекаются. В этом случае в определенной мере минимизуется величина отрицательных коэффициентов в немонотонных разностных схемах высокого порядка точности, и вполне естественно предположить, что такие схемы будут давать меньшие осцилляции на негладких решениях. Решением задачи (23) будет вектор § = §₂ в пространстве коэффициентов, определяемый соотношениями.

где («1, с₂) и (с₂, с₂)-соответствующие скалярные произведения, а_х — решение первой задачи минимизации (22), с₂ и Ь₂ определяются соотношениями (7), (9).

Аналогично может быть найдена оптимальная в указанном выше смысле разностная схема с порядком аппроксимации О (г², тЛ², Л⁴, Л² /г) (с использованием с₂ из (8)) и оптимальные по величине немонотонности разностные схемы более высокого порядка точности.

Для приведенного на рис. 4.23 девятиточечного шаблона наиболее точной при о > 1 среди монотонных схем с порядком аппроксимации 0(т, Л²) является разностная схема (16), а ''наименее осциллирующей" схемой с порядком аппроксимации 0(Л⁴/т, 7³, тЛ², Л⁴, Л⁶/т) на решениях (1) — разностная схема, которой в пространстве коэффициентов соответствует точка В₂ и для которой.

• 5. Разностной схемой первого порядка точности (16) непосредственно можно воспользоваться лишь при о > ½, когда она устойчива и, более того, монотонна, а схемой второго порядка точности (24) — при о> 1. При о < 1 для рассматриваемого сеточного шаблона имеется монотонная схема второго порядка точности (18), которая, однако, при о> 1 теряет монотонность и приводит к осцилляциям на негладких решениях. Поэтому в случае X = Х (/, х, и) представляют интерес комбинированные (или ''гибридные") разностные схемы с выбором коэффициентов 5J, So af¹ в зависимости от локального значения а= Хт/Л², в частности:
  • а) монотонная при любых, а комбинация разностных схем (18) и (16):

б) монотонная при о < 1 комбинация схемы (18) и наименее осциллирующей схемы (24), имеющая при любых о второй порядок аппроксимации:

в) монотонная при любых о комбинация явной схемы первого порядка точности (13) и неявной схемы (16) (аналог схемы Карлсона для уравнений гиперболического типа):

Условия, при которых в этих схемах осуществляется переход от одной комбинации коэффициентов <*, cfc¹, аГ ¹ к другой, могут быть выбраны зависящими не только от локальных значений о, но и от поведения искомого решения, как это делается в гибридных разностных схемах для уравнений гиперболического типа.

6. Для обобщения рассмотренных в п. 2−5 разностных схем на случай квазилинейного уравнения теплопроводности.

можно воспользоваться, например, известным интегроинтерполяционным методом [68], обеспечивающим, в частности, консервативность разностных схем. С использованием этого метода для девятиточечного сеточного шаблона, показанного на рис. 4.23, трехпараметрическое семейство консервативных разностных схем с порядком аппроксимации 0(т, И²) может быть представлено в виде (для простоты выписан случай / = 0).

Здесь коэффициенты b_x, b₂, c_t, с₂ в полуцелых точках должны быть соответствующим образом осреднены по их значениям в узлах сеточного шаблона, а конкретный выбор 5{, 5jj" ¹, af ¹ определяет ту или иную разностную схему (точку в пространстве коэффициентов а).

Разностная схема (29) при различном выборе а, cfr¹, dij¹ была использована для численного решения уравнения (28) при / = 0, X = v^k_% к = 5/2.

Рис. 4.28 Рис. 4.29

и при краевых условиях.

Задача (28), (31) до момента времени t = 1/с является автомодельной (бегущая с постоянной скоростью с волна), и ее решение имеет вид f 1141.

На рис. 4.28, 4.29 представлены результаты расчетов задачи (28), (30) в момент времени t = 1, проведенных соответственно при.

Штриховой линией 1 нанесены данные, полученные в расчетах по одной из разностных схем при И = 1/80, когда все опробованные разностные схемы дают близкое друг к другу решение. Точки 2 — 7 — данные при Л = 0,1, полученные с использованием различных разностных схем: темные точки 2- схема Крэнка — Никольсона (18); темные треугольники 6 — известная неявная схема (14); светлые прямоугольники 7 — схема Дюфорта — Франкелла (15); крестики 3 — комбинированная схема (29) с выбором о?!, So’SaiT¹ в соответствии с (26) ((18) при, а 1); светлые треугольники 4 — комбинация схемы (18) при о 1 (схема (29), (25)); светлые точки 5 — комбинация явной схемы (13) при ½ и схемы (16) при о>½ (схема (29), (27)).

Фактически все расчеты проводились по схеме (29) с соответствующим выбором параметров а{,, af *, причем для комбинированных схем —.

в зависимости от локального значения о = X (и) т/Л².

Видно, что расчеты с малым т (рис. 4.28) при использовании различных разностных схем дают близкие и достаточно точные решения даже при сравнительно грубой пространственной сетке, что обусловлено наличием второго порядка аппроксимации по h во всех этих схемах. Однако при больших т (большие о, рис. 4.29) различия между схемами становятся более заметными и полностью соответствуют проведенному выше при их построении анализу в пространстве коэффициентов.

В немонотонной при о > 1 схеме (18) второго порядка точности по Г, как и следовало ожидать, появляются заметные колебания на искомом негладком решении (линия 2 на рис. 4.29). Вместе с тем эта схема дает наиболее точное положение фронта тепловой волны. Комбинация такой схемы, используемой при локальном значении 1 (когда она монотонна), и наименее осциллирующей при о > 1 схемы (29), (24) практически полностью убирает осцилляции разностного происхождения без заметного ухудшения скорости распространения тепловой волны (линия 3 на рис. 4.29). Эта комбинированная схема, так же как и (18), имеет второй порядок аппроксимации по Л.

Рис. 4.30.

Наихудшие по точности результаты дает наиболее часто употребляемая в расчетах неявная монотонная при любых значениях, а схема (14) (линия 6 на рис. 4.29). Но схеме Дюфорта — Франкелла расчеты с большими о провести не удалось.

Комбинация схемы (18) второго порядка по / при локальном значении о < 1 или известной явной схемы (13) первого порядка по / при о< ½ со схемой (16) (наиболее точной при о> 1 среди монотонных схем с порядком аппроксимации 0(т, Л²)), используемой при других значениях а, дает близкие друг к другу и более точные, чем неоптимальная в этом смысле схема (14), решения (линии 4, 5 на рис. 4.28, 4.29). Это также вполне соответствует выводам, сделанным при анализе разностной схемы (16).

На рис. 4.30 в момент времени / = 1/с = 5 приведено решение автомодельной задачи (28), (31) при И = 0,05, т = 0,2. Штриховая линия 1 — точное решение (32), сплошные кривые 2, 4−6 — расчет по тем же разностным схемам, что и в предыдущем примере. Цифры на рис. 4.28−4.30 соответствуют одним и тем же разностным схемам. Рассмотренные здесь разностные схемы при больших о дают результаты, расположенные по точности в той же последовательности, что и в предыдущем примере. Относительная ошибка в численном решении для точки х = 0,5 этого же примера (в момент времени / = 5) такова:

Разностная схема 2 3 4 5 6.

Относительная ошибка, % 3,08 -0,28. 0,05 0,15 0,47.

В этой точке точное значение и = 0,574 349. Номера схем соответствуют цифрам на рис. 4.28—4.30.

7. Обобщение рассмотренных разностных схем на случай одномерных систем уравнений вида.

производится наиболее естественным образом в том случае, если матрица В диагонализуема, т. е. может быть представлена в виде В = 12АП, где, А = = 1 X/1 — диагональная вещественная матрица из характеристических чисел матрицы В, определяемых из характеристического уравнения Det (Z? — XZT) = 0, а П = | со/ j — неособенная матрица, строками которой являются линейно независимые собственные векторы (например, левые) матрицы В, определяемые с точностью до их длины из совокупности линейных однородных систем уравнений (В^т — _fE) со/ = О, Е- единичная матрица, В^т — транспонированная матрица В. В частности, именно такова, например, параболическая часть одномерных нестационарных уравнений Навье-Стокса при числе Прандтля, не равном ¾, и уравнений пограничного слоя. В этом случае разностные схемы типа (2) записываются в виде где А% = 1 ajj — диагональная матрица, в которой скалярные коэффициенты ofa. = 0^(0/), Of = Х/т/Л² следует выбирать точно так же, как и в случае одного уравнения (1) или (28).

Когда уравнение (1) или (28), либо система уравнений типа (33) содержат гиперболическую часть, можно воспользоваться методом расщепления по «физическим процессам», т. е. для параболической и гиперболической частей таких уравнений и систем использовать наиболее приемлемые для них аппроксимации либо (что, очевидно, всегда можно сделать в случае одного уравнения) использовать изложенный выше (а также в работах [57, 66]) подход непосредственно к таким более сложным уравнениям. По-видимому, в этом случае удается получить новые, более интересные, чем в случае метода расщепления, разностные схемы.

Наконец, в случае многомерных уравнений рассмотренные выше разностные схемы могут быть использованы в различных методах расщепления по пространственным переменным, аппарат которых достаточно хорошо разработан и успешно используется на практике.