Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΡ‹, курсовыС, Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅...
Брочная ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² ΡƒΡ‡Ρ‘Π±Π΅

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°

Π Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

Π¨Ρ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ 1 нанСсСны Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π°ΡΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ… ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚Π½Ρ‹Ρ… схСм ΠΏΡ€ΠΈ И = 1/80, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° всС ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ разностныС схСмы Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 2 — 7 — Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π› = 0,1, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ с ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… разностных схСм: Ρ‚Π΅ΠΌΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 2- схСма ΠšΡ€ΡΠ½ΠΊΠ° — Никольсона (18); Ρ‚Π΅ΠΌΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ 6 — извСстная нСявная схСма (14); свСтлыС ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ 7 — схСма… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ° (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

Π’ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… случаях Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ…, ΠΏΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ гипСрболичСской части, содСрТатся Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ со Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ пространствСнными ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ (диффузия, Π²ΡΠ·ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ… ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ ΡΠΏΠ»ΠΎΡˆΠ½Ρ‹Ρ… срСд ΠΈ Π΄Ρ€.). НаиболСС распространСнным ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ параболичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ являСтся «Ρ€Π°ΡΡ‰Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Ρ„изичСским процСссам», Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ гипСрболичСская ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ части ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡ‚ΠΈΡ… частСй ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ (для гипСрболичСской части, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΌΠΈ построСниями). Π₯отя Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΡ… уравнСниях Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ искомых Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ Π² Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΡ…, ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствСнно трСбования ΠΊ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚онности разностных схСм нСсколько Π½ΠΈΠΆΠ΅, Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΈ Π·Π΄Π΅ΡΡŒ Π² Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌ случаС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ с Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠΌΠΈ Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (Ρ‚Π΅ΠΏΠ»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹, ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ слои ΠΈ Ρ‚Π».), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ разностной схСмы становится ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ.

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ [57] для гипСрболичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° разностных схСм Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС ΠΈΡ… ΠΊΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² примСняСтся ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… (ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ…) ΠΈ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ… ΠΊ Π½ΠΈΠΌ схСм для параболичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ [65].

1. Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ тСплопроводности.

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΠΈ интСгрирования Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ сСтку, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€- 156.

Рис. 4.23.

Рис. 4.23.

Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ Π“, Ρ…: Ρ…Ρ‚ = mh, tn = Π»Ρ‚, /я = 0, ±1, .. , ΠΏ = 0, 1ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ принято, Vm = v (tn, Ρ…Ρ‚).

Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сСточный шаблон, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ (tn*v, Ρ…Ρ‚ + Π΄), Ρ€ = 0, ±1,…, v = 1, 0,-1,… (рис. 4.23), ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ всС допускаСмыС этим шаблоном Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ разностныС схСмы Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Π³Π΄Π΅ — Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ коэффициСнты.

Π’ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌ ограничимся Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ распространСнным случаСм симмСтричных разностных схСм, Ρ‚. Π΅. Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сСточный шаблон симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой Ρ… =Ρ…Ρ‚ ΠΈ.

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ для уравнСния (1) Π½Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ пространствСнного направлСния. Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚роСния, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ рассмотрСнным Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ нСсиммСтричных схСм.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΡΡ‚оянными коэффициСнтами, ΠΊΠ°ΠΊ извСстно, Π±Π΅Π·Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ (tn, Ρ…Ρ‚)) Π² Ρ€ΡΠ΄ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ (1) ΠΈ Π΅Π³ΠΎ слСдствия, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ условий аппроксимации разностным Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (2) Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (1) ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов (Π°?Π΄ = <*Π΄ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€ = 0, 5Π΄ = 2с*Π΄ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€=?0) уравнСния:

c, a = Π• cvslloc^ = bs, c,= fc^}, a={a" |, (4).

ΠΈ > ΠΎ. Ρ€

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄. 1 для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ гипСрболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π² Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ пространство коэффициСнтов разностных схСм ΠΎ = fa? j, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ с, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ, Π° (ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡƒΡŽ числом ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π² ΡˆΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π΅). НСпосрСдствСнной ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ S ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (4) разностноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (2) аппроксимируСт (1) с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ 0(ts, r*~lh2, ... ,.

Π›25, h2 /Ρ‚), ΠΈ, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π»Π° мСсто ''СстСствСнная" для уравнСния (1) аппроксимация с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ О (Π³, Π›2), Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (4) ΠΏΡ€ΠΈ s = 0 ΠΈ 1, Ρ‚. Π΅. РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ (5), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Π»ΠΈΠ±ΠΎ коэффициСнта, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

ΠΈ Π²Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ пространство, Π° = I ΠΎΡ ? I (Π±Π΅Π· ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ† -0, Ρƒ-Оид-1, v = 0) с Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π½Π° Π΄Π²Π° мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ ос. Π›ΡŽΠ±Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС

Π° ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствуСт Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ разностной схСмС с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ аппроксимации О (Π³, Π›2), Π° ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокого порядка Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ (4). Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка аппроксимации ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ.

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ вмСсто (8) часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ ''ΡƒΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅" условиС (7):

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

ΠžΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ разностных схСм (7), (8) ΠΎΡ‚ ΡΡ…Π΅ΠΌ (7), (9) Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ использовании (8) ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠ΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ошибки аппроксимации ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ порядок 0(Ρ‚, Ρ‚Π›2, Π›4, Π›6/Π³), Ρ‚. Π΅. OQi2) ΠΏΡ€ΠΈΡ‚ иО (Π›4) ΠΏΡ€ΠΈΡ‚ ~Π›2, Π° ΠΏΡ€ΠΈ использовании (9) — соотвСтствСнно О (Π›4 /Π³, Π³, Ρ‚Π˜2, Π›4, Π›6 /Π³), Ρ‚. Π΅. OQr) нСзависимо ΠΎΡ‚ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ сСточных ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π³ ~ И ΠΈΠ»ΠΈ Π³ ~ И2.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… пространств коэффициСнтов разностных схСм, Π° ΠΈΠ»ΠΈ, Π° ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ряд Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, связанных с ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ разностных схСм, ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎ ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌ (устойчивости, монотонности ΠΈ Ρ‚. ΠΏ.), Π½ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡΡΡŒ Π½Π° Π΅ΡΡ‚Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρƒ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ (Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ, ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΠ΅) ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌ свойствам (точности, устойчивости ΠΈ Ρ‚. ΠΏ.) разностныС схСмы. НСкоторыС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΏ. 2—5.

2. Π’Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ для ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ класс разностных схСм ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй, Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ [55] для систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ гипСрболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ° (ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΠΆΠΎΡ€Π°Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ схСмы — ΠΏΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ), для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ….

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сСточных шаблонов Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС разностныС схСмы Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π°, Ρ‚. Π΅. Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (5), (10), Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС коэффициСнтов a = |Π°?| ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠ°, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ (5), (10), ΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ прСдставлСния. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства (5), (10) ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ аь =.

= 10, … 0,, 0,. .. , 0,, 0,. .. , 01, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ значСния, опрСдСляСмыС ΠΈΠ· Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмы (5):

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Для выполнСния условия 5^ > 0 Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ < 0, Ρ‚. Π΅. Π² случаС разностных схСм с ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠ° (5), (10) ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ разностныС схСмы, построСнныС Π½Π° ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой Ρ… = Ρ…Ρ‚ сСточных ΡˆΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π°Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π΅ ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ {Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ {tn+v't Π₯/Π»*^) ΠΈ {tn*Vl, xm-*i,)) располоТСны Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹

Π° Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ {tn*v', xw+/la) ΠΈ {tn*v't Ρ…Ρˆ_^2) {ΠΎΠ΄Π½Π°, Ссли ΠΎΠ½Π° Π½Π° прямой Ρ… = Ρ…Ρ‚) - Π½ΠΈΠΆΠ΅ этой ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ (рис. 4.23). Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρ† = {Ρ… - Ρ…Ρ‚)/И, v = (/ β€” tn)/r слСдуСт Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Π΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹, ΠΎ β€” ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для явных разностных схСм ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ = ΠΎ, = = 2(1 β€” Π³Π΄Π΅ (/!,, Ρƒ.) β€” ’’крайний” ΡƒΠ·Π΅Π» сСточного шаблона, всС ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ шаблона окаТутся Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ (11), Ρ‚.Π΅. явныС схСмы ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ условно ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Π° Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ {tn*v', xw+/la) ΠΈ {tn*v't Ρ…Ρˆ_^2) {ΠΎΠ΄Π½Π°, Ссли ΠΎΠ½Π° Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΠΉ Ρ… = Ρ…Ρ‚) — Π½ΠΈΠΆΠ΅ этой ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ (рис. 4.23). Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρ† = {Ρ… — Ρ…Ρ‚)/И, v = (/ — tn)/r слСдуСт Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Π΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹, ΠΎ — ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для явных разностных схСм ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ = ΠΎ, = = 2(1 — Π³Π΄Π΅ (/!, Ρƒ.) — ''ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΉ" ΡƒΠ·Π΅Π» сСточного шаблона, всС ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ шаблона окаТутся Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ (11), Ρ‚. Π΅. явныС схСмы ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ условно ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (5), (10) строится с ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ прСдставлСния ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Ρ‚.Π΅. Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ с Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами rbi Π² ΡΡƒΠΌΠΌΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ частных Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠ° (5), (10).

Π’ ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° рассмотрим Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ для (1) дСвятиточСчный сСточный шаблон, прСдставлСнный Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.23, ΠΈ ''Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅" разностныС схСмы с ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами = Π°? Π½Π° ΡΡ‚ΠΎΠΌ шаблонС. НСопрСдСлСнными коэффициСнтами Π½Π° ΡΡ‚ΠΎΠΌ шаблонС Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ 5} = 2Π°}, So = <*ΠΎ" Π°? = 2c*i, So1 = <*ΠΎ1, af1 = 2Π°!-1 (ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ коэффициСнты ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ условиями симмСтрии (3)). Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ с ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (6) коэффициСнты, Π° ΠΈ 5?, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ трСхпарамСтричСскоС сСмСйство разностных схСм со ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ ?}, Π° (c)1, af1, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС коэффициСнтов, Π° = 1 Π°, Sq1, aj-11 любая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° — Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСкоторая схСма с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ аппроксимации 0(7, Π›2). Π Π°Π·;

Рис. 4.24.

Рис. 4.24.

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.
Рис. 4.25.

Рис. 4.25.

Рис. 4.27.

Рис. 4.26 Рис. 4.27

ностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй, коэффициСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ условиям (10), располоТСны Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΈ Π½Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Ак, ΠΊ = 1,2,.. , ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.24−4.27 для Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎ = 1/8, 3/8, ¾, 2 соотвСтствСнно. ΠšΠΎΠ½Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°Ρ†ΠΈΡ этих областСй, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, зависит ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°, ΠΈ ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ° (исчСзновСниС Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½, появлСниС Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ…) происходит ΠΏΡ€ΠΈ значСниях ΠΎ = ¼ ΠΈ ½, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° (11) ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (/"" *, Ρ…Ρ‚ ± i) ΠΈ (tn, Ρ…Ρ‚ + j) соотвСтствСнно.

ΠŸΡ€ΠΈ 0 < ΠΎ = Π₯Ρ‚/Π›2 <¼ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠ° (5), (10) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

(извСстная явная разностная схСма, устойчивая ΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚онная ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ < ½, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΠΎΠΎΠΉ соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° О Π½Π° ΠΎΠΈΡ. РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°. 4.24—4.27'!.

(Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ часто употрСбляСмая Π² Ρ€Π°ΡΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ… нСявная схСма, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ау Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.24−4.27, устойчивая ΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚онная ΠΏΡ€ΠΈ всСх значСниях Π°), РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

(схСма Π”ΡŽΡ„ΠΎΡ€Ρ‚Π° — Π€Ρ€Π°Π½ΠΊΠ΅Π»Π»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π›2 Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.24, 4.25, Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ устойчивая, Π½ΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎ Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚онная лишь Π² ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ< ½). ΠžΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.24 ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹: Π°1, = 4Π°/(1 + 4Π°), Π° (c)1 = 1/(1 + 4Π°), Π°Π“* = 0 (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А6 Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.24— 4.27); Π°} = Π°0-1 = 0, af1 = 2Π°/(1 — 2Π°) (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Аь Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.24): Π°/ = О, ΠΎ (c)1 =1 —4Π°, af1 = 4Π° (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А9 Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.24).

ΠŸΡ€ΠΈ ¼ < a < ½ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ А8, А9 ΠΈΡΡ‡Π΅Π·Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ Π²ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΎ Π½ΠΈΡ… ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ дс = (4a — 1)/4Π°, aj1 = 0, Π°,"1 = ¼Π° (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Аа Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.25−4.27) ΠΈ Π° = aj1 =0, af1 = (1 — 2a)/2Π° (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А7 Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.25).

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΎ> ½ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ О, А2, Ап ΠΈΡΡ‡Π΅Π·Π°ΡŽΡ‚, Π° ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Аз Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.26,4.27) с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

(устойчивая ΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚онная ΠΏΡ€ΠΈ a > ½ нСявная схСма, см.: [Π˜Π—]). Π­Ρ‚Π° схСма Π² ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠΈ с (13) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ< ½ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Π° извСстной для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ гипСрболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ° схСмС. Π‘. ΠšΠ°Ρ€Π»ΡΠΎΠ½Π° (описанной, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ [7]).

Для рассматриваСмого дСвятиточСчного шаблона (рис. 4.23) с использованиСм ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ критСрия устойчивости разностных схСм | <7 (ΠΎΠ“,"/?) | < 1.

Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… Π²ΠΈΠ΄Π° 0%, = qn exp (imy) Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС a «{a}, ato1«5Π“1! ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ (Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ) устойчивых схСм

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

НСтрудно ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊ (5), (10) содСрТится Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ (17), Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ (10) являСтся достаточным условиСм устойчивости разностных схСм (2).

3. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ условия (7), (8) ΠΈΠ»ΠΈ (7), (9) Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС коэффициСнтов 3, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ разностных схСм с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ аппроксимации Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… (1): 0(Ρ‚2, Ρ‚/Π³2, Π›4, А6/Ρ‚) Π»ΠΈΠ±ΠΎ 0(/Π³4/Ρ‚, Ρ‚2, Π³Π›2, Π›4, Π›Π±/Π³).

Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, для ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.23 сСточного шаблона пСрСсСчСниС плоскостСй (7), (8) ΠΈ (7), (9) с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ разностных схСм с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.24—4.25 ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π’Ρ… Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ (7), (9) ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π° извСстная, Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ устойчивая ΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚онная ΠΏΡ€ΠΈ a < 1 схСма ΠšΡ€ΡΠ½ΠΊΠ°-Никольсона:

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Π’ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ (7), (9) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ > 1, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ (7), (8) Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… значСниях, Π° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ пСрСсСчСний с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌ схСм с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй (рис. 4.27). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ прСдставляСт интСрСс Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ вопросы: ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π»ΠΈ для ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сСточных шаблонов разностныС схСмы Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка точности Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… (1), ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… значСниях ΠΎ, Π° Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сСточных шаблонов всС ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ схСмы Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ (ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокого) порядка точности Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… (1) ΠΈ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ (значСния Π°), ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ½ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (срСди коэффициСнтов ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅).

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ условия Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка аппроксимации ΠΏΠΎ t для опрСдСлСнности Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ''ΡƒΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ" условиСм (7), (9) ΠΈ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠΌΡΡ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ трСхслойными разностными схСмами, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ значСнияuJ, ViiHa Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… слоях t = tn +1, t = tn, t = tn~l, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ разностныС схСмы сСшС большим числом слоСв ΠΏΠΎ Π“, ΠΏΠΎ-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡƒ, практичСского интСрСса Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ условия аппроксимации (4) ΠΏΡ€ΠΈΠ· =0, 1,2 (Ρ‚.Π΅. (5), (7), (9)), Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ условия Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ коэффициСнтов <*?, Ρ‚. Π΅. (10), для Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства аь = (0, … …, 0, «Π›;, 0,…, 0,, 0,…, 0,, 0,…, 01 ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ послС нСслоТных ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ систСму Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (/ = 1, 2, 3).

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

ΠΈ Π΄Π»Ρ выполнСния (20) трСбуСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ всС Π”/ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ. Π­Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· = 1, Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° Vf < 0. Частными Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ (19), (20), Ρ‚.Π΅. Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠ° Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС коэффициСнтов, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ разностныС схСмы, построСнныС Π½Π° ΡΠ΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡˆΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π°Ρ…, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (tn* *, xm), Π΄Π²Π΅ симмСтричныС ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой Ρ… = -Ρ…Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΡΠ»ΠΎΠ΅ t = tn +, Π΄Π²Π΅ симмСтричныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΡΠ»ΠΎΠ΅ t Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹

ΠΈ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (ΠΎΠ΄Π½Π°, Ссли ΠΎΠ½Π° располоТСна Π½Π° прямой Ρ… = Ρ…Ρ‚) Π½Π° слоС t < n, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ этой ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹. ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (19), (20) описываСтся ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ (12).

ΠΈ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (ΠΎΠ΄Π½Π°, Ссли ΠΎΠ½Π° располоТСна Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΠΉ Ρ… = Ρ…Ρ‚) Π½Π° ΡΠ»ΠΎΠ΅ t < n, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ этой ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹. ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (19), (20) описываСтся ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ (12).

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ> ΠΎ" = pl/(l — ^*), Π³Π΄Π΅ (Π΄*,?*) — ''ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΉ" ΡƒΠ·Π΅Π» сСточного шаблона Π½Π° ΡΠ»ΠΎΠ΅ Π³ < t", всС ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ сСточного шаблона с V ( < 0 окаТутся Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ (21) ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… разностных схСм Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ (ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокого) порядка точности Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… (1) станСт пустым. Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, для ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.23 сСточного шаблона Π°* = 1 достигаСтся ΠΏΡ€ΠΈ Π΄. = 1, v. = 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ соотвСтствуСт ситуации, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.24−4.27.

Для этого сСточного шаблона мноТСством ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… разностных схСм с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ аппроксимации 0(Π›4/Ρ‚, Ρ‚2, Ρ‚Π›2, Π›4, Π›6/Ρ‚) являСтся проСкция Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° BB^B^BS ΠΏΡ€ΠΈ Π°< ½ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π’]Π’3Π’5 ΠΏΡ€ΠΈ ½ < Π° < 1 Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ плоскости {Π°?1, 57 Π§, 15}, 5^1 1, /5}, 5j | Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ коэффициСнт (5{, 571 ΠΈΠ»ΠΈ 5^ ^отвСтствСнно) ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ условия Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка точности (7), (9).

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· относится ΠΊ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚Π½Ρ‹ΠΌ схСмам с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ аппроксимации 0(Π›4/Ρ‚, Ρ‚2, Ρ‚Π›2, Π›4, И6/Π³) Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… (1). Для ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… условий (4) ΠΏΡ€ΠΈ s = 0, 1, 2, Ρ‚. Π΅. для разностных схСм с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ аппроксимации ^(Ρ‚2, Π³Π›2, Π›4, Π›6/Π³) Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… (1), ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Ρ€ΠΈΡ. 4.24 (ниТняя Π·Π°ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ), ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… значСниях ΠΎ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΡΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ схСмы (ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π‘Π‘2). Однако ΠΎΠ½ΠΈ практичСски Π½Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚СрСсны, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… Π°, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ значСниях Π°, Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ… ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, для шаблона ΠΈΠ· Ρ€ΠΈΡ. 4.23 — ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ< 1/6-ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ> 1/VT2).

4. Как ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² ΠΏ. 2,3, ΠΏΡ€ΠΈ Π°> ΠΎ, = М β€’/(1 — ?β€’) Π² разностных схСмах Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка точности ΠΏΠΎ t срСди коэффициСнтов Π°? Π² (2) ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΡŽ осцилляций разностного происхоТдСния Π½Π° Π½Π΅Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ…. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ сильноС Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСточного шаблона ΠΏΠΎ Ρ€ΡΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ Π½Π΅ΠΆΠ΅Π»Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ (трудности построСния расчСтной схСмы Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ† ΠΈ Ρ‚. ΠΏ.), Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π°0 Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сдСлана сущСствСнно большСй Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, Π° Ρ€Π°ΡΡ‡Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΆΠ΅Π»Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‚ ~ Π›, Ρ‚. Π΅. ΠΎ = Π›Ρ‚/Π›2 ~ 1/Π› > 1. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ интСрСс ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π²Π΅ сопряТСнныС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, срСди ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… разностных схСм с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ аппроксимации 0(Ρ‚, А2) Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС коэффициСнтов, Π° = = {5? | ΠΏΡ€ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΎ располоТСны Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ всСго ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ схСм с Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоким порядком точности.

Для этого Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ (5), (10):

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ€ Πͺ2 ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅, ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ (4). РСшСниС этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π° = det) Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ схСму с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ аппроксимации О (Π³, А2), Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΡƒΡŽ срСди ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… схСм с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ порядком аппроксимации, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π³2 прямо ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° коэффициСнту ΠΏΡ€ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Π΅ (vrrrr) Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… разностных схСм. Для ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ сСточного шаблона Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚авляСт трудностСй.

Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, срСди разностных схСм с Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоким порядком аппроксимации (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ 0(А4/Ρ‚, Ρ‚2, Ρ‚Π›2, Π›4, Π›6/Ρ‚), располоТСнных Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ (7), (9)) Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ смыслС Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС коэффициСнтов ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΡƒ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… схСм (ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π° =). НапримСр, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ (7), (9) ΠΈ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ мноТСство.

(5), (10) Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ся. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ минимизуСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов Π² Π½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… разностных схСмах высокого порядка точности, ΠΈ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ СстСствСнно ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ схСмы Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ мСньшиС осцилляции Π½Π° Π½Π΅Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ…. РСшСниСм Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (23) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β§ = Β§2 Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС коэффициСнтов, опрСдСляСмый ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ.

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Π³Π΄Π΅ («1, с2) ΠΈ (с2, с2)-ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ скалярныС произвСдСния, Π°Ρ… — Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ (22), с2 ΠΈ Π¬2 ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ (7), (9).

Аналогично ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π² ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ смыслС разностная схСма с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ аппроксимации О (Π³2, Ρ‚Π›2, Π›4, Π›2 /Π³) (с ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ с2 ΠΈΠ· (8)) ΠΈ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ нСмонотонности разностныС схСмы Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокого порядка точности.

Для ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.23 дСвятиточСчного шаблона Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ > 1 срСди ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… схСм с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ аппроксимации 0(Ρ‚, Π›2) являСтся разностная схСма (16), Π° ''Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΎΡΡ†ΠΈΠ»Π»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ" схСмой с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ аппроксимации 0(Π›4/Ρ‚, 73, Ρ‚Π›2, Π›4, Π›6/Ρ‚) Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… (1) — разностная схСма, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС коэффициСнтов соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π’2 ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ.

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

  • 5. Разностной схСмой ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка точности (16) нСпосрСдствСнно ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ лишь ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ > ½, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½Π° устойчива ΠΈ, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Π°, Π° ΡΡ…Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка точности (24) — ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ> 1. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΎ < 1 для рассматриваСмого сСточного шаблона имССтся монотонная схСма Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка точности (18), которая, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ> 1 тСряСт ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΎΡΡ†ΠΈΠ»Π»ΡΡ†ΠΈΡΠΌ Π½Π° Π½Π΅Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ…. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ X = Π₯ (/, Ρ…, ΠΈ) ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ интСрСс ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ (ΠΈΠ»ΠΈ ''Π³ΠΈΠ±Ρ€ΠΈΠ΄Π½Ρ‹Π΅") разностныС схСмы с Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ коэффициСнтов 5J, So af1 Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π°= Π₯Ρ‚/Π›2, Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚ности:
    • Π°) монотонная ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ…, Π° ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡ разностных схСм (18) ΠΈ (16):

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Π±) монотонная ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ < 1 комбинация схСмы (18) ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΎΡΡ†ΠΈΠ»Π»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ схСмы (24), ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ порядок аппроксимации: РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Π²) монотонная ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΎ комбинация явной схСмы ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка точности (13) ΠΈ Π½Π΅ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ схСмы (16) (Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ схСмы ΠšΠ°Ρ€Π»ΡΠΎΠ½Π° для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ гипСрболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°):

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Условия, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π² ΡΡ‚ΠΈΡ… схСмах осущСствляСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ коэффициСнтов <*, cfc1, Π°Π“ 1 ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Ρ‹ зависящими Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΎΡ‚ повСдСния искомого Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠ°ΠΊ это дСлаСтся Π² Π³ΠΈΠ±Ρ€ΠΈΠ΄Π½Ρ‹Ρ… разностных схСмах для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ гипСрболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

6. Для обобщСния рассмотрСнных Π² ΠΏ. 2−5 разностных схСм Π½Π° ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния тСплопроводности.

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, извСстным интСгроинтСрполяционным ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ [68], ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ, Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ разностных схСм. Π‘ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ этого ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° для дСвятиточСчного сСточного шаблона, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.23, трСхпарамСтричСскоС сСмСйство консСрвативных разностных схСм с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ аппроксимации 0(Ρ‚, И2) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСно Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (для простоты выписан случай / = 0).

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ коэффициСнты bx, b2, ct, с2 Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ осрСднСны ΠΏΠΎ ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡΠΌ Π² ΡƒΠ·Π»Π°Ρ… сСточного шаблона, Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ 5{, 5jj" 1, af 1 опрСдСляСт Ρ‚Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ схСму (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС коэффициСнтов Π°).

Разностная схСма (29) ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π΅ Π°, cfr1, dij1 Π±Ρ‹Π»Π° использована для числСнного Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния (28) ΠΏΡ€ΠΈ / = 0, X = vk% ΠΊ = 5/2.

Рис. 4.29.
Рис. 4.28 Рис. 4.29.

Рис. 4.28 Рис. 4.29

ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΡ€Π°Π΅Π²Ρ‹Ρ… условиях.

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° (28), (31) Π΄ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t = 1/с являСтся Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ (бСгущая с ΠΏΠΎΡΡ‚оянной ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ с Π²ΠΎΠ»Π½Π°), ΠΈ Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ f 1141.

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

На Ρ€ΠΈΡ. 4.28, 4.29 прСдставлСны Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ расчСтов Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (28), (30) Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t = 1, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… соотвСтствСнно ΠΏΡ€ΠΈ.

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Π¨Ρ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ 1 нанСсСны Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π°ΡΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ… ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚Π½Ρ‹Ρ… схСм ΠΏΡ€ΠΈ И = 1/80, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° всС ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ разностныС схСмы Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 2 — 7 — Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π› = 0,1, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ с ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… разностных схСм: Ρ‚Π΅ΠΌΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 2- схСма ΠšΡ€ΡΠ½ΠΊΠ° — Никольсона (18); Ρ‚Π΅ΠΌΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ 6 — извСстная нСявная схСма (14); свСтлыС ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ 7 — схСма Π”ΡŽΡ„ΠΎΡ€Ρ‚Π° — Π€Ρ€Π°Π½ΠΊΠ΅Π»Π»Π° (15); крСстики 3 — комбинированная схСма (29) с Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎ?!, So’SaiT1 Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с (26) ((18) ΠΏΡ€ΠΈ, Π° 1); свСтлыС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ 4 — комбинация схСмы (18) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ 1 (схСма (29), (25)); свСтлыС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 5 — комбинация явной схСмы (13) ΠΏΡ€ΠΈ ½ ΠΈ ΡΡ…Π΅ΠΌΡ‹ (16) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ>½ (схСма (29), (27)).

ЀактичСски всС расчСты ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΏΠΎ ΡΡ…Π΅ΠΌΠ΅ (29) с ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π°{,, af *, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ для ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… схСм —.

Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΎ = X (ΠΈ) Ρ‚/Π›2.

Π’ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ расчСты с ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌ Ρ‚ (рис. 4.28) ΠΏΡ€ΠΈ использовании Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… разностных схСм Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π³Ρ€ΡƒΠ±ΠΎΠΉ пространствСнной сСткС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ обусловлСно Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка аппроксимации ΠΏΠΎ h Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ… этих схСмах. Однако ΠΏΡ€ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… Ρ‚ (большиС ΠΎ, рис. 4.29) различия ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ схСмами становятся Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС коэффициСнтов.

Π’ Π½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ > 1 схСмС (18) Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка точности ΠΏΠΎ Π“, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ колСбания Π½Π° ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΌ Π½Π΅Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ (линия 2 Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.29). ВмСстС с Ρ‚Π΅ΠΌ эта схСма Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΏΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ схСмы, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ локальном Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ 1 (ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Π°), ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΎΡΡ†ΠΈΠ»Π»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ > 1 схСмы (29), (24) практичСски ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΡƒΠ±ΠΈΡ€Π°Π΅Ρ‚ осцилляции разностного происхоТдСния Π±Π΅Π· Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ…ΡƒΠ΄ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ скорости распространСния Ρ‚Π΅ΠΏΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹ (линия 3 Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.29). Π­Ρ‚Π° комбинированная схСма, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ (18), ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ порядок аппроксимации ΠΏΠΎ Π›.

Рис. 4.30.

Рис. 4.30.

ΠΠ°ΠΈΡ…ΡƒΠ΄ΡˆΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Ρ‚очности Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ часто употрСбляСмая Π² Ρ€Π°ΡΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ… нСявная монотонная ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… значСниях, Π° ΡΡ…Π΅ΠΌΠ° (14) (линия 6 Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.29). Но ΡΡ…Π΅ΠΌΠ΅ Π”ΡŽΡ„ΠΎΡ€Ρ‚Π° — Π€Ρ€Π°Π½ΠΊΠ΅Π»Π»Π° расчСты с Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠΌΠΈ ΠΎ провСсти Π½Π΅ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ.

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡ схСмы (18) Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΏΠΎ / ΠΏΡ€ΠΈ локальном Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎ < 1 ΠΈΠ»ΠΈ извСстной явной схСмы (13) ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΏΠΎ / ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ< ½ со ΡΡ…Π΅ΠΌΠΎΠΉ (16) (Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎ> 1 срСди ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… схСм с ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ аппроксимации 0(Ρ‚, Π›2)), ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… значСниях Π°, Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ смыслС схСма (14), Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ 4, 5 Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.28, 4.29). Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ соотвСтствуСт Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π°ΠΌ, сдСланным ΠΏΡ€ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ разностной схСмы (16).

На Ρ€ΠΈΡ. 4.30 Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ / = 1/с = 5 ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (28), (31) ΠΏΡ€ΠΈ И = 0,05, Ρ‚ = 0,2. Штриховая линия 1 — Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (32), ΡΠΏΠ»ΠΎΡˆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ 2, 4−6 — расчСт ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ разностным схСмам, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. Π¦ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.28−4.30 ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ разностным схСмам. РассмотрСнныС здСсь разностныС схСмы ΠΏΡ€ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΎ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, располоТСнныС ΠΏΠΎ Ρ‚очности Π² Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. ΠžΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ошибка Π² Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ… = 0,5 этого ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° (Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ / = 5) Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Π°:

Разностная схСма 2 3 4 5 6.

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ошибка, % 3,08 -0,28. 0,05 0,15 0,47.

Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ = 0,574 349. НомСра схСм ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°ΠΌ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4.28—4.30.

7. ΠžΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ рассмотрСнных разностных схСм Π½Π° ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π°.

РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.
РазностныС схСмы с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ аппроксимациСй для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ параболичСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

производится Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ СстСствСнным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, Ссли ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π’ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠ°, Ρ‚. Π΅. ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π’ = 12АП, Π³Π΄Π΅, А = = 1 X/1 — диагональная вСщСствСнная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈΠ· Ρ…арактСристичСских чисСл ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π’, опрСдСляСмых ΠΈΠ· Ρ…арактСристичСского уравнСния Det (Z? — XZT) = 0, Π° П = | со/ j — нСособСнная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, строками ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ нСзависимыС собствСнныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π»Π΅Π²Ρ‹Π΅) ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π’, опрСдСляСмыС с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈΠ· ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (Π’Ρ‚ — fE) со/ = О, Π•- Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Π’Ρ‚ — транспонированная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π’. Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Π°, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, параболичСская Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… нСстационарных ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ НавьС-Бтокса ΠΏΡ€ΠΈ числС ΠŸΡ€Π°Π½Π΄Ρ‚Π»Ρ, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌ ¾, ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ слоя. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС разностныС схСмы Ρ‚ΠΈΠΏΠ° (2) Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³Π΄Π΅ А% = 1 ajj — диагональная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ скалярныС коэффициСнты ofa. = 0^(0/), Of = Π₯/Ρ‚/Π›2 слСдуСт Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (1) ΠΈΠ»ΠΈ (28).

Когда ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1) ΠΈΠ»ΠΈ (28), Π»ΠΈΠ±ΠΎ систСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° (33) содСрТат Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ расщСплСния ΠΏΠΎ «Ρ„изичСским процСссам», Ρ‚. Π΅. для параболичСской ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΉ частСй Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΡ‹Π΅ для Π½ΠΈΡ… аппроксимации Π»ΠΈΠ±ΠΎ (Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния) ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ (Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… [57, 66]) ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ нСпосрСдствСнно ΠΊ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТным уравнСниям. По-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡƒ, Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС удаСтся ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ интСрСсныС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° расщСплСния, разностныС схСмы.

НаконСц, Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ рассмотрСнныС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ разностныС схСмы ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°Ρ… расщСплСния ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствСнным ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ, Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… достаточно Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½ ΠΈ ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ