Основные свойства комплексных чисел

Единственность алгебраической формы.

Об отношении линейного порядка на множестве комплексных чисел Свойства комплексных чисел рассматриваются в курсе алгебры и теории чисел (см., например, [5]), поэтому здесь мы рассмотрим лишь два принципиально важных свойства.

6.2.1. Теорема. Алгебраическая форма комплексного числа единственна.

Доказательство. Пусть a+bi=c+di, я, 6, с, с/ е R, докажем, что а = с, b = d. Имеем: a-c = (d-b)i. Если предположить, что b*d,.

то / =-— е R, что невозможно, гак как квадрат любого.

d-b

действительного числа неотрицателен. Следовательно, b = d, откуда а = с. ?

6.2.2. Теорема. На множестве комплексных чисел можно определить отношение линейного порядка так, чтобы операция сложения была монотонной, но поле комплексных чисел нельзя превратить в упорядоченное поле.

Доказательство. На множестве комплексных чисел С определим отношение <, положив a+bi тогда и только тогда, когда а<�с или же а~с_у но b Легко доказать, что система (С, <) есть линейно упорядоченное множество, причем сложение монотонно.

Предположим, что на множестве комплексных чисел удалось ввести отношение линейного порядка < так, что система (С, +, •, <) — упорядоченное поле. По свойству трихотомии, либо 0</, либо / = 0, либо I < 0. В первом случае, по свойству монотонности умножения, получаем 0-/</•/, откуда 0< —1, значит, 1<0. Но из 0<-1 следует, что 0 < (—I)² = 1 — пришли к противоречию. Если /' = 0, то — 1 = 1−0 — противоречие. Если же / < 0, то 0 <-/, откуда 0 <(-/)•(-/) =/² =-1, что снова ведет к противоречию. ?