Зависимость решений от начальных условий
Таким образом, для краевых задач как первого рода (на границах заданы концентрации), так и второго рода (на границах заданы потоки) собственными функциями являются периодические гармонические функции пространственной координаты. Таким образом, Ап представляют собой коэффициенты разложения Фурье, известного из курса математического анализа, функции <�р (г) по синусам в интервале (О,/): Функция C… Читать ещё >
Зависимость решений от начальных условий (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Вернемся к задаче с начальными условиями (6.11). Представим решение в виде ряда:
Функция C (r, t) удовлетворяет граничным условиям, так как им удовлетворяют все члены ряда. Требуя выполнения начальных условий (6.11), получим выражение:
Таким образом, Ап представляют собой коэффициенты разложения Фурье, известного из курса математического анализа, функции <�р (г) по синусам в интервале (О,/):
где $ — переменная интегрирования.
Учитывая выражения (6.27) для множителей Ап, формулу (6.25) можно записать в виде.
Изменение порядков суммирования и интегрирования законно, если ряды сходятся равномерно по? при t > 0.
Обозначив.
представим C (r, t) через G (r, ?, t) в виде.
где G (r, $, ?) называется функцией мгновенного источника и характеризует распределение вещества в трубке 0 ^ г ^ I в момент времени t, если в начальный момент концентрация вещества равна нулю, и в этот момент в точке г = $ мгновенно выделяется некоторое количество вещества, а концентрация вещества на концах трубки все время поддерживается нулевой. Как будет показано далее, выражение для функции источника удобно использовать при решении неоднородного уравнения диффузии.
Итак, получено решение однородного уравнения с заданными начальными условиями и нулевыми краевыми условиями.
Решение краевой задачи с нулевыми потоками на границе будет иметь вид.
а функция источника соответственно может быть выражена формулой 
Таким образом, для краевых задач как первого рода (на границах заданы концентрации), так и второго рода (на границах заданы потоки) собственными функциями являются периодические гармонические функции пространственной координаты.
Если реакция происходит в безграничной трубке, то решение однородного уравнения.
с начальным условием С (0, г) = д (г) имеет вид.
Из этой формулы, в частности, следует, что если начальная концентрация была положительна только на конечном отрезке О ^ г I, то при любом t > 0 концентрация в момент < будет положительна всюду на числовой прямой: —оо < г < оо. С помощью диффузии большие концентрации распространяются сравнительно медленно, в то время как малые — за малое время на большие расстояния. Следует иметь в виду, что уравнение (6.10) на очень малых интервалах времени плохо описывает процесс диффузии. Если рассматривается диффузия на конечном отрезке [0,1] с условием непроницаемости на концах, то любая начальная концентрация с ростом t стремится к равномерному распределению по отрезку.