Закон обратного отношения между содержанием и объемом понятия

Относительно одного и того же универсума:

• 1) увеличение содержания понятия уменьшает его объем, уменьшение объема понятия увеличивает его содержание;
• 2) уменьшение содержание понятия увеличивает его объем, увеличение объема понятия уменьшает его содержание.

Из этого закона можно сделать важный вывод. Допустим, даны два понятия, объем одного из которых включен в объем другого. При этом объемы понятий могут совпадать или не совпадать. Если объемы обоих понятий совпадают, каждое из них есть необходимое следствие другого; если объемы понятий не совпадают, то понятие с большим объемом выступает необходимым следствием понятия с меньшим объемом, но не наоборот. Понятия «мужчина» и «сын» соответствуют первому случаю, понятия «мужчина» и «высокий мужчина» — второму. Всякий мужчина — чей-то сын, и каждый сын — мужчина. Поэтому, если истинно одно, истинно и другое. Обратное также верно. Всякий высокий мужчина ес! ть просто мужчина, но не каждый мужчина обладает высоким ростом. Из истинности понятия «высокий мужчина» следует истинность понятия «мужчина», но обратное в общем неверно.

Сказанное означает, что закон обратного отношения объема и содержания представляет одну из частных формулировок логического следования — базиса всей дедуктивной логики.

В учебной литературе под содержанием понятия обычно понимается «совокупность существенных признаков», что нельзя признать точным.

Во-первых, это — повторение определения понятия. Вместе с тем «понятие» и «содержание понятия» — различные логические конструкты, второе — структурная часть первого. Во-вторых, как уже отмечалось, не учитывается и то, что не число признаков, а сообщаемая понятием логическая информация есть важнейший признак содержания.

Знать содержание понятия означает знать его объем. Под последним традиционно подразумевается «совокупность предметов, на которые распространяется данное понятие». Но в этом случае объем не может быть логической характеристикой понятия, так как предметы, на которые оно распространяется, — часть реального мира и существуют независимо от данного понятия. Чтобы объем приобрел указанный статус, его необходимо определить как все те классы универсума, с которыми данное понятие совместимо.

Для аналитического выражения отношения между содержанием и объемом произвольного понятия П в универсуме U будет использоваться следующее уравнение:

Члены уравнения (*) вычисляются согласно следующим равенствам (знаки ® и в обозначают соответственно операции сложения и вычитания классов):

Пусть даны три понятия А, В и С, причем {/= «яблоки», А =? «спелые и вкусные яблоки»: В = «спелые яблоки»; С = «спелые или вкусные яблоки». Разделим универсум (построим классификацию), чтобы вычислить содержание и объемы сравниваемых понятий (рис. 1.2).

В первый класс попали спелые и вкусные яблоки; во второй — спелые и невкусные; в третий — неспелые и вкусные; в четвертый — неспелые и невкусные яблоки одновременно. Следует обратить внимание, что эта классификация исчерпывающая, а все классы попарно.

Рис. 1.2. Пример вычисления объема и содержания понятий несовместимы. Значит, она правильная, т. е. универсум представляет полное множество.

Универсум задачи равен сумме всех четырех классов: f/= (1 + 2 + 3 + + 4). Понятие А несовместимо со всеми классами универсума, в которых имеются неспелые и/или невкусные яблоки. Значит А несовместимо со вторым, третьим и четвертым классами и совместимо только с первым классом: А = (2 + 3 + 4)/(1). Понятие В несовместимо со всеми классами универсума, в которых имеются неспелые яблоки, и совместимо со всеми остальными: В = (3 + 4)/(1 + 2). Понятие С несовместимо только с тем классом, в котором существуют как неспелые, так и невкусные яблоки, т. е. с четвертым классом, и совместимо со всеми остальными: С = (4)/(1 +2 + 3).

Сравнивая содержания и объемы понятий А, В и С, убеждаемся, что их изменение обратно пропорционально: уменьшение (увеличение) содержания понятия увеличивает (уменьшает) его объем. Аналогичный эффект демонстрирует и изменение объема. Понятие Л имеет наибольшее содержание, равное сумме классов (2 + 3 + 4), и наименьший объем, равный (1). Содержание понятия В, равное сумме (3 + 4), — часть содержания понятия А. Поэтому объем А, равный (1), — это часть объема понятия В, равного сумме (1 +2). Наконец, содержание понятия С, равное (4), представляет часть содержания понятий как Л, так и В. По этой причине С имеет наибольший объем, равный сумме (1 + 2 + + 3), и включает объемы понятий Л и В. При этом сумма классов, образующих содержание и объем одного и того же понятия, всегда постоянна и равна числу классов универсума в целом.

Примем соглашение изображать содержания, объемы и универсумы понятий замкнутыми прямоугольными фигурами. Тогда обратно пропорциональные включения содержаний и объемов понятий Л, В и С из анализируемого примера можно представить следующим образом (рис. 1.3).

Обобщение и ограничение понятий — простейшие преобразования объема и содержания понятий.

Рис. 1.3. Примеры обратного включения объема и содержания.

Обобщением понятия называется конструирование нового понятия с большим объемом (меньшим содержанием), чем исходное.

Ограничением понятия называется конструирование нового понятия с меньшим объемом (большим содержанием), чем исходное.

Из рассмотренного выше примера следует, что понятие В обобщает понятие Л, а понятие С обобщает как понятие А, так и понятие В. Если прослеживать в обратном порядке, понятие В ограничивает понятие С, а понятие А ограничивает понятие В и тем самым также понятие С.

Рассмотрим несколько примеров на определение обобщающих (ограничивающих) понятий.

Пример 1.

Выяснить, связана ли отношением обобщения (ограничения) следующая пара понятий: А — «Люди, знающие все европейские языки»; В = - «Люди, знающие все живые европейские языки».

Пусть U~ «люди» (рис. 1.4).

Рис. 1.4.

Получаем: U — (1 + 2 + 3 + 4), где (1) — «Люди, знающие все живые и все мертвые европейские языки», (2) — «Люди, знающие все живые европейские языки и не знающие всех мертвых языков», (3) — «Люди, не знающие всех живых европейских языков, но знающие все мертвые языки», (4) ~ «Люди, не знающие ни всех живых, ни всех мертвых европейских языков».

Понятие А несовместимо с людьми, не знающими всех живых или всех мертвых европейских языков, или не знающими всех живых и всех мертвых европейских языков одновременно. Следовательно, оно исключает второй, третий и четвертый классы. Значит, А — (2 + 3 + 4)/(1).

Понятие В несовместимо с людьми, не знающими всех живых европейских языков. Следовательно, оно исключает третий и четвертый классы. Значит, В = (3 + 4)/(1 + 2).

Содержание понятия В — часть содержания понятия А. Следовательно, понятие А ограничивает В, а понятие В обобщает А, будучи для него родовым (рис. 1.5).

Рис. 1.5.

Данный пример интересен тем, что опровергает периодически высказываемые сомнения в универсальности закона обратного отношения объема и содержания. Грамматически содержание понятия В отличается от содержания понятия А тем, что содержит дополнительный признак «живые». Но это грамматическое добавление не означает увеличения логического содержания понятия В. Значит, нет никаких оснований для утверждения, будто объем понятия увеличивается одновременно с увеличением его содержания.

Пример 2

Решить указанную в предыдущем примере задачу для следующих трех понятий: А = «Все солдаты храбрые», В — «Некоторые (не все) солдаты храбрые».

Пусть U- «солдаты» (рис. 1.6).

Рис. 1.6.

Получаем: U=( 1 + 2 + 3 + 4), где (1) = «Всесолдаты храбрые», (2) — «Все солдаты нехрабрые», (3) — «Не все солдаты храбрые» — «Некоторые солдаты храбрые, а некоторые нехрабрые», (4) — «Не все солдаты нехрабрые» — «Некоторые солдаты нехрабрые, а некоторые храбрые».

Понятие А несовместимо со всеми классами, в которых имеются нехрабрые солдаты. Значит, оно исключает классы (2), (3) и (4). Следовательно, А — (2 + 3 + 4)/(1).

Понятие В несовместимо только с существованием всех нехрабрых солдат. Поэтому оно исключает класс (2). Следовательно, В = (2)/(1 + + 3 + 4) .

Содержание понятия В — часть содержания А. Значит, А ограничивает В, а В обобщает/!, будучи для него родовым (рис. 1.7).

Рис. 1.7.

Пример 3

Решить указанную в первом примере задачу для следующей пары понятий: А = «Завтра морской бой действительно состоится»; В = «Возможно, что завтра морской бой состоится»; С = «Завтра морской бой необходимо состоится».

Пусть U = «завтрашний морской бой» (рис. 1.8).

Рис. 1.8.

Получаем: U — (1.+ 2 + 3 + 4), где (1) — «Морской бой, который завтра обязательно состоится и тем самым действительно состоится, и тем самым возможно, что состоится»; (2) — «Морской бой, который завтра действительно состоится, но без необходимости, т. е. возможно, что состоится, но возможно, что и не состоится»; (3) — «Морской бой, который завтра не состоится с необходимостью и тем самым не состоится в действительности и в возможности»; (4) — «Морской бой, который завтра действительно не состоится, но без необходимости, т. е. возможно, что не состоится, но возможно, что и состоится».

Понятие А исключает классы (3 + 4), т. е. любую возможность того, что завтрашний морской бой действительно не состоится. Значит А = = (3 + 4)/(1 + 2).'.

Понятие В исключает класс (3), т. е. возможность, что завтрашний морской бой необходимо не состоится. Следовательно В — (3)/(1+2 + 4).

Понятие С исключает классы (2 + 3 + 4), т. е. все варианты, согласно которым завтрашний морской бой, возможно не состоится. Следовательно С — (2 + 3 + 4)/(1).

Содержание понятия В — часть содержания понятий А и С. Значит понятие В обобщает оба эти понятия (А и С оба ограничивают В). Содержание понятия А — часть содержания понятия С. Следовательно понятие Л обобщает С, а С ограничивает Л (рис. 1.9).

Рис. 1.9.

Закономерен вопрос: существуют ли пределы обобщения и ограничения понятий? Относительно данного универсума и заданного числа оснований его деления существует предел как обобщения, так и ограничения рассматриваемых понятий. Пределом обобщения выступает родовое понятие, а ограничения — любой отдельный класс, представляющий конечный результат деления универсума.

При снятии указанного условия никаких логических границ обобщению и ограничению понятий, по всей видимости, нет. С информационной точки зрения обобщить какое-либо понятие означает найти его логическое следствие, потому что только содержание следствий будет частью содержания посылок. Поскольку процесс познания протекает как процесс обобщения существующих знаний, то вряд ли следует ожидать, будто мы получим далее необобщаемые пределы естественного и гуманитарного знания. Также нет никаких логических препятствий для ограничения, т. е. конкретизации, понятий. Для этого достаточно присоединить к существующему содержанию понятия какое-либо новое условие. Например, добавляя к содержанию понятия.

«Льюис Кэрролл» последовательно условия «человеке псевдонимом», «преподаватель математики из колледжа Крайст Черч в Оксфорде», «автор всемирно известных сказок об Алисе», «автор оригинальной логической теории», «застенчивый и заикающийся человек», мы будем получать понятия, все более ограничивающие объем исходного понятия. При этом следует учитывать, что ничто не мешает увеличивать число условий, а вместе с ней и степень конкретизации до любого желаемого предела.