Основные свойства определителей
Если некоторая строка или столбец определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. Действительно, поменяв местами эти строки, получаем Дл = -Дл, откуда и следует, что Дл = 0. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю. Это свойство легко проверяется на определителях второго и третьего порядков. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести… Читать ещё >
Основные свойства определителей (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Изданного общего определения следуют основные свойства определителей.
1. Если некоторая строка или столбец определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Действительно, согласно общему определению в каждое из л! слагаемых обязательно войдет сомножителем элемент нулевой строки (нулевого столбца).
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
Это свойство легко проверяется на определителях второго и третьего порядков.
3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.
Действительно, поменяв местами эти строки, получаем Дл = -Дл, откуда и следует, что Дл = 0.
- 4. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
- 5. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя Дл представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей, в каждом из которых:
- а) все строки (столбцы), за исключением указанной строки (столбца), совпадают с аналогичными строками (столбцами) определителя Дн;
- б) на месте указанной строки (столбца) первый определитель содержит первые слагаемые, а второй определитель — вторые слагаемые данной строки (столбца) определителя Дл.
Поясним это свойство на примере определителя третьего порядка.
6. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число.
Это свойство является следствием свойств 3—5.
7. При транспонировании матрицы определитель не меняется.
Из перечисленных свойств следует, что определитель равен нулю, если по крайней мере одна из его строк (столбцов) является линейной комбинацией каких-либо других его строк (столбцов). Отсюда вытекает необходимое и достаточное условие равенства определителя нулю. Определитесь равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.