Основные положения статики

В результате освоения данной главы студент должен: знать

• • основные аксиомы статики;
• • уравнения равновесия сил на плоскости и в пространстве; уметь
• • составлять уравнения равновесия для различных систем сил на плоскости и в пространстве;

владеть

• • навыками проектирования сил на оси координат;
• • навыками приведения систем сил к их равнодействующим.

Аксиомы статики

Статика изучает условия равновесия твердых тел под действием приложенных к ним сил.

Сформулируем основные понятия, используемые в статике и далее в строительной механике.

Под равновесием тела понимают его неподвижность (покой) или равномерное прямолинейное движение. В действительности в природе абсолютного покоя нет. Все тела, расположенные на Земле, движутся вместе с ней. Поэтому можно говорить о покое одного тела относительно какого-либо другого. Следовательно, любой покой относителен. В инженерных науках равновесие любого тела есть его покой относительно Земли, служащей основанием для любого возводимого сооружения.

Совокупность сил, действующих на тело, принято называть системой сил. Силы, образующие систему сил, принято называть составляющими.

Системы сил, под действием каждой из которых твердое тело находится в одинаковом кинематическом состоянии, называются эквивалентными.

Сила, эквивалентная заданной системе сил, называется равнодействующей.

Сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия в противоположную сторону, называется уравновешивающей силой.

Определение равнодействующей по составляющим системы сил называется сложением сил, а обратное действие — разложением силы.

Силы, действующие на данное тело или систему тел, делятся на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на данное тело или систему тел со стороны других тел. Одной из разновидностей внешних сил являются реакции в связях. Под реакцией связи понимают силу, с которой связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям. Внутренними называются силы взаимодействия между отдельными точками данного тела.

Таким образом, чтобы какое-либо тело находилось в покое, система сил, действующая на это тело, должна находиться в равновесии.

Итак, статика занимается изучением условий равновесия внешних сил, приложенных к абсолютно твердому телу, а также рассматривает способы и приемы замены сложных систем сил более простыми эквивалентными системами.

Как и всякая точная наука, статика основана на ограниченном числе очевидных положений, называемых аксиомами статики.

Аксиома 1 (аксиома инерции). Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.

Аксиома инерции выражает установленный Г. Галилеем закон инерции.

Аксиома 2 (аксиома равновесия двух сил). Две силы, приложенные к твердому телу, уравновешены, если они численно равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны (рис. 2.1).

Рис. 2.1.

Аксиома 3 (аксиома присоединения). Если на твердое тело действует какая-либо система сил, то состояние тела не нарушится, если из этой системы исключить или к этой системе добавить уравновешенную систему сил (рис. 2.2).

Предположим, что к твердому телу приложена система сил F_v F₂, Е₃, Е₄, под действием которой тело находится в покое или совершает равномерное прямолинейное движение. Приложим к этому телу дополнительно две равные противоположно направленные и взаимно уравновешенные силы Р_х и Р₂ (рис. 2.2, а). При этом если тело находится в состоянии покоя, то оно сохранит его; если тело совершает равномерное прямолинейное движение, то оно будет продолжать двигаться под действием новой системы сил P_v Р₂, F₃, Р_А, P_v P₂, т. е. новая система сил будет эквивалентна прежней.

Рис. 2.2.

Следствие. Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела, действующую на него силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменными ее модуль и направление.

Предположим, что к твердому телу в точке А приложена сила Fj (рис. 2.2, б). Дополнительно приложим в точке В, лежащей на линии действия силы Fj, две новые силы F₂ и F₃, равные по модулю силе Fj и направленные по линии ее действия в противоположные стороны. Затем удалим силы Fj и F₃ (по аксиоме 3). На тело будет действовать только одна сила F₂ = Fj.

Аксиома 4 (правило параллелограмма сил). Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, приложена в той же точке и представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на данных силах как на сторонах (рис. 2.3, а).

Рис. 2.3.

Эта аксиома выражает правило геометрического сложения двух сил:

Модуль равнодействующей силы определяется по формуле.

где, а — угол между направлениями сил Fj и F₂.

Используя аксиому 4 для сложения двух сил, приложенных в точке, построение параллелограмма можно свести к построению треугольника сил (рис. 2.3, б).

В этом случае для двух сил fj и F₂, приложенных в точке А, достаточно построить вектор ВС, равный F₂, и точку А соединить с точкой С. Вектор АС и будет равнодействующей силой для F] и F-,. При этом следует обратить внимание на то, что направление равнодействующей R (замыкающего вектора) направлено навстречу слагаемых векторов по контуру треугольника.

Построением параллелограмма или треугольника сил может быть решена и обратная задача — разложение силы на две составляющие.

Для решения этой задачи необходимо, кроме заданной силы, знать еще два условия, достаточных для построения параллелограмма или треугольника сил, а именно — направления, по которым нужно произвести разложение.

Например, задана сила F] (рис. 2.4, а), которую требуется представить в виде двух сил, действующих по направлениям А и В.

Рис. 2.4.

Для решения задачи из вершины вектора F] проведем две прямые A_i и параллельные направлениям А и В. Отрезки О А и ОВ, отсеченные этими прямыми, представляют собой величины векторов F₂ и Д₃ (рис. 2.4, б), для которых соблюдается условие геометрического сложения.

Наиболее часто в инженерной практике встречается необходимость разложения силы параллельно координатным осям (получение проекций силы на координатные оси).

Применив прием разложения силы F на два направления, получим составляющие F_x и F_y (рис. 2.5). Отрезки X и Yявляются проекциями силы F на координатные оси. Из геометрии известно, что проекцией вектора на ось называется произведение величины этого вектора на косинус угла между направлением вектора и положительным направлением оси:

где, а — угол, образованный направлением сил F с осью х.

Проекции силы на координатные оси считаются положительными, если их направления совпадают с направлением осей.

Рис. 2.5.

Из рис. 2.5 видно, что величина силы, а из уравнений (2.2) можно записать.

Формулы (2.3) и (2.4) определяют направление и величину силы F.

Аксиома 5 (аксиома равенства дейс твия и противодействия). Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

Аксиома впервые сформулирована И. Ньютоном и показывает, что действие двух тел друг на друга всегда взаимно, численно одинаково и противоположно направлено, т. е. в природе не существует одностороннего действия сил.

Аксиома 6 (аксиома затвердевания). Равновесие физического тела не нарушается при его затвердевании.

Процесс превращения физического тела, т. е. реального тела природы, в абсолютно твердое тело можно представить себе мысленно как наложение добавочных абсолютно жестких связей, делающих расстояния между точками физического тела неизменными. Такое изменение физического тела не может нарушить его состояние равновесия.

Данная аксиома широко используется в инженерной практике при определении реакций в связях и внутренних сил по недеформированному состоянию тела.