Тепловое взаимодействие подземного трубопровода с морознопучинистым грунтом

Грунт рассматривается как трехфазная среда, состоящая из следующих фаз: влаги, льда, сухого скелета грунта. Изменение массы каждой /-фазы (влага, лед, скелет грунта) определяется физическим законом сохранения массы, записанном применительно к многофазной среде [10]:

где / = 1,2,…, N— номер фазы; р — приведенная плотность /-й фазы; Jji — интенсивность перехода j-й фазы в ню в единице объема в единицу времени, р, • v"  — поток массы г-й фазы через поверхность S.

Считая температуру фаз смеси одинаковой, учитывая аддитивность внутренней энергии, а также условие малости мощности внутренних сил, уравнение баланса внутренней энергии запишется в виде [10]:

где Uj — удельная внутренняя энергия /-й фазы; p_t? v"? Ui — удельный поток внутренней энергии /-й фазы; q"  — плотность теплового потока.

Приведенные плотности жидкой влаги р_в, льда р, и сухого скелета грунта р_с выражаются через объемные доли и истинные плотности:

где 9,9_Ч, 9_СК — объемные доли влаги, льда, сухого скелета грунта; р⁽_в⁰⁾, р*⁰⁾, pfj — истинные плотности влаги, льда, сухого скелета грунта.

Перенос жидкой влаги в грунтах описывается законом изотермической влагопроводности [4].

где D — коэффициент диффузии жидкой влаги в грунте, зависящий от в и 9_t.

В качестве движущей силы влагопереноса принят градиент влагосодержания. Данный закон справедлив для описания переноса жидкой влаги в тонкодисперсных грунтах, ввиду незначительного влияния сил гравитации на движение в них влаги. Следует отметить, что в законе влагопереноса не учитывается вклад термовлагопроводности, так как, согласно [5], влияние этого эффекта становится значительным при температурных градиентах 4−5 °С/см и более.

Пористость грунта характеризуется коэффициентом т = V"/V, где V" — объем порового пространства в грунте, занимающего объем V.

Принятая физическая модель среды учитывает интенсивность фазового перехода «вода — лед» в поровом пространстве грунта с учетом обобщенных данных об изменении приведенной плотности незамерзающей воды при понижении температуры в грунтах (обозначена — J_ц).

Удельные плотности тепловых потоков q" вычисляются по закону Фурье. При этом коэффициент теплопроводности грунта определяется по рассчитанным значениям приведенной плотности жидкой влаги, приведенной плотности льда и температуре грунта. В случае талого грунта коэффициент диффузии D зависит от объемного содержания жидкой влаги в, а в случае промерзающего и мерзлого грунта зависит также и от в_л — объемного содержания льда. В общем случае зависимость D от 0 и 6_Л записывается в виде:

где D, (в) — зависимость коэффициента диффузии для талого грунта; п — опытная константа, зависящая от вида грунта.

Интенсивность кристаллизации жидкой влаги в поровом пространстве можно записать как:

а интенсивность плавления льда:

где Лр — изменение приведенной плотности жидкой влаги за счет плавления льда в поровом пространстве за время At; Ар_в_у_я — изменение приведенной плотности льда за счет замерзания воды в порах за время Д/. Используя безразмерную функцию незамерзшей воды f (T), устанавливающую однозначную взаимосвязь между количеством льда и влаги при температуре Т, запишем выражения для Др^, Ар_в^_л в следующем виде:

Уравнение баланса внутренней энергии многофазной среды для трехфазной среды, состоящей из влаги, льда и сухого скелета грунта, применительно к //-му контрольному объему запишем в виде:

Правая часть уравнения (6.10) вычисляется как среднее для соответствующего промежутка времени /⁽" ⁺¹⁾ =.

= t⁽ⁿ⁾+At). Индекс к = 1, 2, 3, 4 соответствует W— западной, Е — восточной, S — южной, N — северной граням //'-го контрольного объема. U_ijc, U_ljJ}, U_ijB — удельные внутренние энергии сухого скелета грунта, льда влаги. q" _jk — удельный тепловой поток через к-ю грань AS_ijk контрольного объем V…

Плотности тепловых потоков через грани контрольного объема рассчитываются по закону Фурье:

— для грани W

для грани Е

- для грани S.

- для грани N.

где X_tj — теплопроводность грунта в ij-ом КО. Температуры на гранях IV, Е, S, N определяем из условий равенства тепловых потоков через грани.

Коэффициент теплопроводности талого грунта А_т зависит от типа грунта, плотности его скелета и количества влаги, содержащейся в поровом пространстве. В мерзлом грунте значение коэффициента теплопроводности А_м также определятся типом грунта, плотностью его скелета и суммарным количеством жидкой влаги и льда, содержащихся в его порах.

В случае промерзающего грунта (количество незамерзшей воды лежит в интервале значений, определяемых функцией незамерзшей воды) коэффициент теплопроводности Л_тм определяется по формуле, предложенной Ивановым:

где Т" — температура начала фазового перехода, Т_оап — температура, соответствующая нижней границе спектра температур фазового перехода. Таким образом, коэффициент теплопроводности грунта определяется по следующей формуле: