Применение U-критерия Манна-Уитни

Критерий предназначен для проверки достоверности различий между двумя независимыми выборками по уровню признака, измеренного по шкале порядка. Общая идея метода состоит в том, что значениям признака приписываются ранги, причем, ранжирование осуществляется сразу по обеим выборкам.

Затем по рангам вычисляется экспериментальное значение {/-критерия, который отражает степень перекрытия интервалов значений рангов в двух выборках. Чем меньше U,_ксп> тем меньше перекрытие интервалов и, следовательно, тем более вероятно, что различие достоверно. Для проверки гипотез U_жсп, сопостаапяется с табличным критическим значением (выбираемым в зависимости от объемов выборок и статистической значимости): при 1/_эксп > V_кр принимается H_ff в противном случае — Н_г

Ограничения применимости (/-критерия:

• • объем выборок должен быть не менее трех (п_г п₂ > 3); допускается существование всего двух наблюдений в одной из выборок, но при этом во второй их должно быть не менее пяти (л₇ = 2, я, >5);
• • объем каждой из выборок не должен превышать 60 (это связано с ограниченностью таблиц критических значений).

На практике при объемах выборок, превышающих 20 наблюдений, целесообразнее применить иные методы (например. 0-критерий Фишера), поскольку при большом числе градаций уровня признака становится затруднительным ранжирование данных.

Пример 3. В двух группах испытуемых ЭГ-1 и КГ-1 с п=8, л, =10 на констатирующем этапе опытно-поисковой работы проводилось тестирование для установления уровня остаточных знаний по дисциплине «Экономика» с максимально возможным числом баплов 100.

Фактически набранные студентами баллы представлены в табл. 25.

Таблица 25

Результаты тестирования по дисциплине «Экономика».

Можно ли утверждать, что уровни усвоения дисциплины в этих группах различаются?

Н₍₎: Различие в уровне усвоения дисциплины между обеими группами отсутствует.

НСтуденты группы ЭГ-1 имеют более высокий уровень усвоения дисциплины.

Комментарий: количество студентов в группах различное, однако, если посчитать средние значения числа набранных баллов в группах, они окажутся близкими х_| = 53,3 и х₂ = 48,1 баллов, что дает основания для выдвижения гипотезы Н_/ (17-критерий позволяе т ее проверить, поскольку условия применимости метода выполнены).

Составим таблицу, занесем в нее экспериментальные данные, отсортированные по возрастанию числа баллов.

Рассчитаем ранги (табл. 26).

Подсчитаем сумму рангов и сопоставим с контрольной суммой для проверки корректности ранжирования; при совпадении сумм — перейти к следующему пункту.

п= 8, п₂ = 10, Я, = 80,5; Я, = 90,5; SR =171.

Данные по группам заносим в табл. 26.

Таблица 26

Ранжирование экспериментальных данных.

Вычисление значения U производится в следующем порядке:

• • подсчитывается сумма рангов по каждой из групп (R₍ = 80,5; R₂= 90,5; SR = 171);
• • выбирается R_m — наибольшая из сумм рангов R_t и /?,
• • определяем число элементов той выборки, у которой оказалась наибольшей сумма рангов (в рассматриваемом примере R_m = /?, и, следовательно, п_т = п₂— 10;
• • вычисляем значение U _жа) по формуле:

• • значение U_kv определяется по таблице критических значений [/-критерия для выбранной значимости (в нашем примере р < 0,05); меньшее из п_} и п₂ выбирается по горизонтали, большее — по вертикали; их пересечение дает критическое значение U_K (в рассматриваемом примере для п, = 8 и п₂ = 10 находим: U = 20 [48, с. 199−203];
• • сопоставление U и U позволяет принять или отвергнуть экспериментальную гипотезу; в нашем случае U_m > И_кр, следовательно, Н_г отвергается и принимается гипотеза Н₀ — достоверное различие в уровнях усвоения экономики в сопоставляемых группах отсутствует (вопреки различию средних показателей).