Дробный факторный эксперимент

С ростом количества факторов п число точек плана в ПФЭ и соответственно число опытов очень быстро растет. Наряду с ростом N происходит также увеличение числа взаимодействий и их порядка в выражении (3.6), поэтому при больших п реализация ПФЭ становится практически невозможной. Как правило, модель включает не все, а лишь некоторые взаимодействия первого порядка (парные взаимодействия), иногда взаимодействия второго порядка и почти никогда не содержит взаимодействий выше третьего порядка, т. е. ими можно пренебречь или априори известно, что их нет. Поэтому число степеней свободы для проверки адекватности модели с ростом числа факторов быстро увеличивается, например, при п = 5 у плана ПФЭ в случае применения линейного полинома на проверку адекватности линейной модели остается 26 степеней. Хотя большое количество опытов и приводит к существенному снижению погрешности в оценке коэффициентов, все же такое число степеней свободы для проверки адекватности является чрезмерным. При многофакторном эксперименте, особенно когда число факторов п > 6, число опытов планов ПФЭ 2″ (N = 2″) становится чрезмерным. Если не требуется определение всех коэффициентов неполного квадратичного полинома, то переходят к дробному факторному эксперименту (ДФЭ) — части полного факторного эксперимента. Так, например, если требуется определить лишь коэффициенты при самих факторах.

то план ПФЭ 2″ дает избыточную информацию. Так, при п = 6 требуется определить п + 1 = 7 коэффициентов, тогда как по плану ПФЭ необходимо провести N = 2⁶ = 64 опыта.

Хотя эта избыточная информация не является бесполезной, она позволяет более точно определить коэффициенты, но все же часто используют планы ДФЭ 2^п~^к, где к — показатель дробности плана ПФЭ. При к = 1 число опытов в плане ДФЭ в два раза меньше, чем в плане ПФЭ, поэтому такие планы называют полурепликой плана ПФЭ. Так, при к = 1 для плана ДФЭ 2⁶⁻¹ N = 2⁶" ¹ = 32, при к = 2 для плана ДФЭ 2^й" ² N = 2^Ь~² = 16 и такой план называют четвертьрепликой, при к = 3 для плана ДФЭ 2⁶" ³ N = 2⁶" ³ = 8. При выборе дробности плана к необходимо учитывать, что число опытов должно быть больше числа членов уравнения. В рассматриваемом случае величина к должна быть такой, чтобы удовлетворялось условие.

План ДФЭ строится, как и для плана ПФЭ, но с меньшим числом факторов. Оставшиеся факторы варьируются не произвольно, а так, чтобы сохранялась ортогональность плана. Это обеспечивается, если оставшиеся факторы варьируются по выбранному генерирующему соотношению, например, как произведение каких-либо факторов из первой группы, но в результате в матрице X будут существовать одинаковые столбцы. Следовательно, мы не сможем найти в чистом виде все коэффициенты неполного квадратичного полинома, а лишь определим совместную величину коэффициентов для одинаковых столбцов.

Рассмотрим построение плана ДФЭ 2³'¹, где п = 3, к = 1, N = 2³~¹= 4. Первые два фактора варьируем, как и ранее для плана ПФЭ 2², а для третьего фактора выбираем генерирующее соотношение [28] в виде х₃ = х_лх₂ (табл. 3.6).

Для неполного квадратичного полинома количество столбцов плана составляет восемь.

Таблица 3.6. План ДФЭ 2^!

План является ортогональным, но в нем оказались четыре пары одинаковых столбцов. Поэтому можно определить только четыре коэффициента, отражающие совместные влияния двух одинаковых столбцов:

Суммарные значения коэффициентов b, + b₂₃, b₂ + Ь₁₃, Ь₃ + Ь₁₂ определяются аналогично. Это следствие попытки определить полное количество коэффициентов — 8 по недостаточному числу опытов — 4. Однако если заранее известно, что некоторые из членов уравнения равны нулю (пренебрежимо малы) или имеется априорная информация о величинах некоторых коэффициентов, то последние могут быть вычленены. Так, если Ь₁₂₃ = 0, то.

Если можно допустить, что коэффициенты из их смешанной оценки сопоставимы, то для рассмотренного плана.

Графическое изображение планов ПФЭ 2³ и ДФЭ 2³" ¹ в факторном пространстве (трехмерном) представлено на рис. 3.11. План ПФЭ 2³ представлен кубом с восемью узлами (точками плана), а возможные планы ДФЭ 2³" ¹ — проекциями этого куба на три плоскости, т. е. из восьми узлов выбираются четыре (рис. 3.11, а). Из куба можно также выбрать четыре точки из восьми, не лежащие в одной плоскости, и сформировать план ДФЭ 2³" ¹ (рис. 3.11, б).

Рис. 3.11. Графическое изображение планов ПФЭ 2³ и ДФЭ 2^{3 1} в факторном пространстве Планы ДФЭ, как и планы ПФЭ, являются ротатабельными, а первые могут быть как насыщенными, так и ненасыщенными.

Достоинство планов ДФЭ заключается и в том, что если построенный на его основе неполный полином не удовлетворяет требованиям по точности, то план ДФЭ легко достраивается до плана ПФЭ, без потери информации о прежних опытах, с формированием более точного полинома.

Пример 3.2

Построить план ДФЭ 2⁴⁻¹ и определить полином.

Число факторов — 4. Нужно найти 8 коэффициентов полинома. Выбираем 8 из 16 опытов плана ПФЭ 2⁴ таким образом, чтобы определить независимые коэффициенты при самих факторах, смешанные коэффициенты при парных сочетаниях факторов и в пренебрежении тройными и четверным сочетаниями факторов, и при этом сохранялась ортогональность плана (табл. 3.7).

Таблица 3.7. Результаты опытов.

Такой выбор позволяет сформировать план ДФЭ 2⁴как и план ПФЭ 2³, но с х₄ = х, х₂х₃. План ДФЭ 2^{4 1} представляется в виде табл. 3.8.

Таблица 3.8. План ДФЭ 2⁴" ¹

Значения коэффициентов полинома составляют.

Если принять, что то полином имеет вид.

Значения полинома в точках плана приведены в последнем столбце плана ДФЭ 2⁴⁻¹. В нашем случае точность его достаточно высокая.

Число опытов для нахождения оценок неизвестных коэффициентов урезанного уравнения может быть существенно уменьшено. Это достигается с помощью применения дробных факторных планов или дробных факторных экспериментов (ДФЭ), представляющих собой регулярные и нерегулярные дробные реплики. Регулярность реплики означает сохранение в ее структуре некоторых важных характеристик полного плана, например симметрии и ортогональности. В отличие от ПФЭ, где наблюдения проводятся во всех вершинах /с-мерного гиперкуба, в ДФЭ наблюдения проводятся только в некоторых из них.

Реплика, включающая только половину экспериментов ПФЭ, называется полурепликой О/г-репликой), включающая четвертую часть опытов — четвертьрепликой ОД-репликой) и т. д. Дробные реплики обозначают выражением 2^к~^р, где р — число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия. Обозначение указанных дробных реплик 2^к~ 2^к 2 соответственно.

Построение регулярной дробной реплики типа 2^кч1 предусматривает отбор из множества к факторов к — q основных, для которых строится план ПФЭ. Этот план дополняется q столбцами, которые соответствуют остальным факторам. Каждый из этих столбцов формируется по специальному правилу, а именно получается как результат поэлементного умножения не менее двух и не более к — q определенных столбцов, соответствующих основным факторам. Именно такое построение матрицы планирования позволяет обеспечить ее симметричность, ортогональность и нормированность. Поясним это подробнее. Рассмотрим построение полуреплики типа 2⁴⁻¹ от ПФЭ 2⁴. Полуреплику можно построить, используя, например, генерирующее соотношение х₄ = х_хх₂. Генерирующее соотношение показывает, какое из взаимодействий принято незначимым и заменено новым фактором. Матрица плана этой полуреплики представлена в табл. 3.9.

Таблица 3.9. Матрица плана полуреплики.

Эта матрица состоит из матрицы плана D₃ ПФЭ 2³ и вектора-столбца, представляющего значения переменной х₄ = х₃х₂. Также другие полуреплики можно получить, используя генерирующие соотношения х₄ = -x_tx₂, х₄ = х_хх₃, х₄ = -XjX₃, х₄ — х^, х₄ = -х₂х₃, х₄ = х, х₂х₃, х₄ = -XjX₂x₃. Заметим, что матрицы планов двух произвольных полуреплик 2⁴⁻¹, генерирующие соотношения которых отличаются только знаками, не имеют общих строк. Поэтому объединение таких полуреплик представляет собой ПФЭ 2⁴.

Задача построения полуреплик 2^к~¹ для произвольного к решается аналогично. Множество всех генерирующих соотношений для полуреплик 2^к~¹ совпадает со множеством всех взаимодействий до (к — 2)-го порядка включительно, взятых СО ЗНаКОМ «ПЛЮС» И «МИНУС» (X_fc = Х, Х₂, Х_к = -XjX₂, Х_к = Х]Х₃, х_к =.

= -х, х₃, …, х_к = X]X₂…x_t_j, х^ = -х^—х,^). И матрица плана реплики 2^к~^] имеет вид.

где D_k_j — матрица плана ПФЭ 2^к~ а В — г*¹'¹-мерный векторстолбец, задаваемый одним из генерирующих соотношений.

Так, например, матрица из восьми опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от полного факторного эксперимента 2⁴, а для пятифакторного планирования — ¹Д-репликой от 2⁵. Построение V4-реплик осуществляется аналогично, только в этом случае используются два генерирующих соотношения. Например, V4-реплика 2⁵" ² может быть задана генерирующими соотношениями х_А = х_гх^с₃, х₅ = = х₂х₃. В последнем случае два линейных эффекта приравниваются к эффектам взаимодействия. Для обозначения дробных реплик, в которых р линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением 2^к~^р. Так, полуреплика от 2³ запишется в виде 2⁵" ¹, а четвертьреплика от 2⁵ — в виде 2⁵" ². Объединение дробных реплик 2^s" ², образованных указанными генерирующими соотношениями со всеми возможными комбинациями знаков перед ними, образует ПФЭ 2⁵. В табл. 3.10 представлено количество опытов дробных реплик. Дробные реплики 2*"*, которые используют для сокращения числа опытов в 2^Ч раз, где q — целое, называют регулярными. Число опытов в ДФЭ 2^м равно N₀ = 2^k~^q.

Таблица 3.10. Условные обозначения дробных полуреплик и количество опытов.

Матрица ДФЭ 2^ также обладает свойствами.

Для плана типа 2^<�с«^ч должно быть задано q различных генерирующих соотношений.

Так как планы типа 2^кч1 являются ортогональными, то для вычисления оценок коэффициентов получаются простые формулы, как и для ПФЭ:

В связи с тем что в дробных репликах часть взаимодействий заменена новыми факторами, найденные коэффициенты уравнения регрессии будут являться совместными оценками линейных эффектов и эффектов взаимодействия. Оценки, которые не позволяют их разделить, называют смешанными. Оценки смешиваются в связи с тем, что каждый из q столбцов дробного факторного плана совпадает с некоторым произведением основных факторов. Линейные эффекты рекомендуется смешивать прежде всего с теми взаимодействиями, которые согласно априорной информации незначимы. Таким образом, при использовании ДФЭ 2^кч* можно получить только (к + 1)-несмещенную МНК-оценку смешанных коэффициентов. Поясним это на примере. Пусть функция отклика.

Для получения оценок коэффициентов используем ДФЭ, задаваемый генерирующим соотношением х₃ = x^x₂. Матрица независимых переменных имеет вид.

Информационная матрица вырожденная, так как она является матрицей размера 7×7, а ее ранг равен 4. В результате получаем модель наблюдений неполного ранга. Как видно из (3.18), в точках плана имеют место равенства х_г = х₂х₃, х₂ = = х, х₃, х₃ = XjX₂. Используя это, (3.17) в точках плана можно записать в виде.

где b₀ = р₀, b, = р_г + р₂₃, Ь₂ = р₂ + р₁₃, Ь₃ = р₃ + р₁₂. Таким образом получена модель полного ранга, и оценки коэффициентов Ь, вычисляются по (3.16). Несмещенными МНК-оценками являются только комбинации исходных коэффициентов.

среди которых лишь Ь₀ является раздельной оценкой параметра р₀.