Аналитическое продолжение. 
Полная аналитическая функция

Рассмотрим области D и D>, имеющие общую часть G, которая тоже является областью (рис. 43, п). Если пересечение D П D₂ состоит из нескольких областей, как показано на рис. 43, б, то в качестве G

Рис. 43.

рассмотрим одну из них. Пусть в области D задана аналитическая функция /i (z), и пусть /2(2) такая аналитическая функция в 1)₂, что для всех точек из G значения /1(2) и /2(2) совпадают. Тогда /2(2) называется непосредственным аналитическим продолжением функции /1 (z) в область D-2 через область G. При фиксированных областях D1, D-2 и G аналитическое продолжение /2(2) определено однозначно. (Действительно, если /о (2) — еще одно аналитическое продолжение функции /1(2) через область G, то f₂(z) совпадает с /2(2) в области G, являющейся частью области D >. Следовательно, по теореме единственности, /о (2) совпадает с /2(2) всюду в области Do.) Но если пересечение D П D₂ состоит из нескольких областей (как, например, на рис. 43, б), то продолжение функции /1(2) через область G не обязано совпадать с продолжением через область G' (мы убедимся в этом ниже на примере 24.1).

Пусть теперь задана цепочка областей D, D2,…, D_n (см. рис. 44), причем каждая мара D* и D*_t. 1 соседних областей имеет общую для них область G*. Предположим, что в каждой области D* задана аналитическая функция /л-(2), причем функции Д (я) и fk+(z) совпадают на множестве G* (другими словами, Л-1−1(2) является непосредственным аналитическим продолжением функции Д (г) через область G/t)• Тогда функция }_п(2) называется аналитическим продолжением функции /1(2) через цепочку областей Dj, D₂,… …, D". Здесь тоже при фиксированных областях Di, D2,… D" и G, G'2, • • • 1 G_n_i аналитическое продолжение f_n(z) в область D_n определено однозначно (почему?). Однако при изменении промежуточных областей Do,…, D_n- или при изменении общих частей G* аналитическое продолжение функции fi{z) в область D, может измениться, даже если первое и последнее звенья цепочки остались прежними.

Может случиться и так, что последнее звено цепочки совпадает с первым (например, цепочка D, Do, D₃, D4, D'₃, D'₂, D на рис. 44), но функция, получающаяся аналитическим продол- ^ис* ⁴⁴

жением функции fi (z) через эту цепочку, не совпадает с первоначальной функцией fi (z). Проиллюстрируем сказанное на примере.

При м е р 24.1. Пусть.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 45.

круги, изображенные на рис. 45. В D рассмотрим функцию /1(2) = In z = In z + i arg z — главную ветвь логарифмической функции. В § 11 было показано, что эта функция аналитична в плоскости с разрезом, но отрицательной полуоси, при этом — тг < arg г < п. В частности, fi (z) аналитичпа в D]. Продолжим се в область D₃ через область Do- При движении из D в D₃ через Do аргумент р точки z будет увеличиваться. Поэтому в i>eзультате продолжения мы получим функцию /3(2) = In |>гг| +.

+ ip, аналитическую в D₃, причем р > 0 в D3.

Продолжая функцию /1(2) в область D₃ через D'_2l мы получим аналитическую в D₃ функцию /3 (2) = In z + ip*, у которой р* < 0 (легко видеть, что значения р и р* отличаются на 27т). В частности, /з (—1) = йг, /3 (—1) = —?7Г. Таким образом, продолжения через разные цепочки в одну и ту же область D₃ дают разные функции.

Рассмотрим теперь продолжение все той же функции /1(2) из Di в Z), по цепочке D, Do, D₃, D₂, D. В результате получим функцию f*(z) = /1(2) 4- 27гг, не совпадающую с исходной функцией /1(2).

Этот пример показывает также, что непосредственное аналитическое продолжение функции /1(2) в область D2 может зависеть от той части пересечения D П D2, через которую ведется продолжение.

Действительно, пусть D — круг, изображенный на рис. 45. качестве второй области возьмем объединение областей D-2, D$ и Г)₂ из рис. 45, т. е. совокупность точек этих областей будем рассматривать как одну область, которую обозначим П₂. Пересечение этой области П₂ с D имеет две компоненты G и G. Непосредственные аналитические продолжения f (z) и f*(z) функции f (z) в П>₂ через Gi и G будут различными; например, /(—1) = йг, /*(—1) = — йг.

Пусть задана (однозначная) аналитическая функция fi (z) в области D, и пусть точка z' обладает следующим свойством: найдется цепочка областей, через которую молено продоллсить функцию f (z) из D в какую-то область, содержащую z' (таких цепочек может быть и несколько). Разумеется, этим свойством обладают все точки из D цепочкой, состоящей из одного звена, здесь будет сама область D{. Но могут найтись точки с указанным свойством, лежащие и вне D. множество всех точек z' с этим свойством обозначим через D. Продолжая функцию fi (z) через некоторую цепочку в какую-то область, содержащую z', мы получим значение функции f (z'). Может получиться так, что цепочек будет несколько, и результаты продолжения окажутся различными (их может быть даже бесконечно много).

Каждой точке z' из D поставим в соответствие все значения f (z'), получаемые в результате продолжения функции f (z) через все возможные цепочки. Такое соответствие определяет функцию, называемую полной аналитической (функцией. Более точно, полная аналитическая функция F (z) в области D — это правило, ставящее в соответствие каждой точке z' из D множество F (z') всех чисел, обладающих следующим свойством: для каждого числа w из множества F (z') найдутся окрестность U точки z' и однозначная аналитическая в U функция f (z) такая, что f (z') = w и f (z) получается из }(z) продолжением через некоторую цепочку областей.

Если продолжения через все возможные цепочки дают одно и то же значение f (z'), то функция F (z) будет однозначной в D, если разные значения — то многозначной.

Однозначные аналитические функции, получаемые в результате того или иного продолжения функции f (z), являются регулярными ветвями полной аналитической функции F (z) (с понятием регулярной ветви мы уже встречались в § 10). В данном § 24 мы обозначаем через F полные аналитические функции (вообще говоря, многозначные), а через / - ее регулярные ветви.

П р и м е ч, а н и я. 1. Как уже говорилось, под аналитической функцией мы понимаем (и будем понимать в дальнейшем) однозначную аналитическую функцию. В некоторых книгах под аналитической понимается полная аналитическая функция, а однозначная аналитическая функция называется регулярной или голоморфной.

2. Полную аналитическую функцию можно определить также как совокупность однозначных аналитических функций, каждая из которых получается продолжением функции fi (z) через ту или иную цепочку областей в некоторые окрестности точек z' из D; окрестность и продолженная в нее функция зависят от точки z' и от цепочки, через которую ведется продолжение.

Принципиальную возможность построения аналитического продолжения дает следующая конструкция, предложенная Вейерштрассом. Вначале проиллюстрируем этот метод на примере.

Пример 24.2. Рассмотрим функцию.

Ряд сходится в круге D = {|г| < 1} и определяет аналитическую в D функцию; сумма ряда в D равна (1 — 2)^-1. Возьмем точку ci2 = 0.9г. Так как а2 лежит в Di, то fi (z) аналогична в аг и, следовательно, разлагается в ряд Тейлора в окрестности этой точки, лежащей в D. Найдем разложение, но формулам (22.2):

Ряд в (24.1) заведомо сходится к fi (z) в малой окрестности лючки «2, принадлежащей D (например, при z — а < 0.1). Поэтому fi (z) = h{^z) = (1 — z)~^] в этой окрестности. Обозначим через D₂ круг сходимости ряда (24.1). В силу теоремы единственности (теорема 23.3) /2(2:) = (1 — z)^-1 в D₂. Для отыскания радиуса сходимости Л2 данного ряда можно применить равенство (21.2). Но поскольку мы уже знаем сумму ряда, то проще воспользоваться замечанием 2 из § 22: /?2 равен расстоянию от центра 02 = 0.9г до особой точки.

z = 1 функции /2(2), т. е. 7?2 = |1 — 0.9г| = y/l + (0.0)² «1.35. Мы видим, что радиус Я2 оказался больше, чем расстояние от центра «2 = 0.9г до границы круга D1, равное 0.1. Поэтому ряд в (24.1) продолжает функцию fi (z) в часть круга лежащую вне круга.

Di.

Мы можем продолжить этот процесс, выбирая точку аз внутри круга D₂ ближе к его границе и дальше от z = 1. Разложение функции /2(2) по степеням (z — аз) продолжит /2{z) в круг D3 радиуса Лз = |1 — аз|, и так далее. Выбирая точки 02, аз,… подходящим образом, мы получим последовательность кругов, покрывающих всю плоскость С за исключением одной точки z = 1. Таким образом, с помощью тейлоровских разложений мы продолжили функцию fi (z). определенную первоначально в круге D, на всю плоскость С без точки z = 1, т. е. на всю область определения функции f (z) = --. В.

1. Z

силу теоремы единственности это продолжение не зависит от выбора точек а-2? ^аз… Продолженная функция оказалась однозначной.

Пример 24.3. Пусть теперь.

Круг сходимости данного ряда есть D = {|г| < 1}, сумма ряда в D равна ln (l + z) (см. (22.16)). Продолжим функцию fi{z) в круг, содержащий точку z — —2, двумя способами. В первом случае возьмем ач — 0.9г и разложим fi по степеням (г — 0.9г). Ряд будет сходиться в круге Dч = {z — ач < Яч) с Яч = | — 1 — ач = |1 + ач ~ 1.35 (почему?), его сумму обозначим через /2(2). В качестве центра следующего круга возьмем точку аз = —1.34 + 0.9г, лежащую в D4 (сделайте чертеж!). Ряд Тейлора, но степеням (z — аз) сходится в круге Ач = {z — аз| < Яз}, где Яз = |1 + аз| ^ 0.96, к аналитической в, А функции /3. Круг, А еще не содержит точку z = —2. Но круг D с центром а = —2.29 + 0.9г, лежащим в А*, и радиусом Я — |1 -Ь а± уже содержит эту точку. Разложив /з в ряд Тейлора с центром a. i, получим функцию /4, аналитическую в D. В силу теоремы единственности функции /1, /2, /з? /4 являются ветвями функции Ln (l + z), и fi (z) = In |1 + z + iarg (1 + z) в D. При движении точки 2: от z = 0 до z = —2 по верхней дуге окружности z + 1| = 1, проходящей через области А, А" А3, D., arg (1 + z) будет непрерывно возрастать от 0 ДО 7 Г. Поэтому /4 (— 2) = In 1 + ?'7Г = 27 Г.

Если же мы продолжим функцию /1 через цепочку кругов А. А}, D4, симметричных кругам Аг, Аз, D4 относительно действительной оси, то получим функцию /|, для которой /4 (—2) = —т. Итак, в данном случае продолжение дает многозначную функцию. Если продолжить этот процесс в каждом из указанных направлений, то получим полную многозначную аналитическую функцию Ln (l + z), определенную во всей комплексной плоскости С кроме точки z = —1. Приведенное здесь построение аналогично данному в примере 24.1, но оно более конкретное и в то же время, как мы сейчас увидим, универсальное.

Перейдем к общему случаю. Пусть задан степенной ряд.

сходящийся в некотором круге D = {z — ci < rj}, r > 0. По свойству 21.6 сумма fi (z) этого ряда будет аналитической функцией в D. В круге D возьмем другую точку а> ф «ь Функция f (z) аналитична в круге D е центром 02, касающемся «большой» окружности z — cii = гI (так как D[ лежит в D). Поэтому ее можно разложить в.

⁰⁰ flⁿU02)

ряд Тейлора Y1 ~—;—~(^z ~ ^а2)" ^с центром «2, заведомо сходящийся п=0 ^п;

в D[ к функции f (z). Но может оказаться так, что этот ряд сходится в большем круге D>. выходящем за пределы круга D (рис. 46). Тогда указанное разложение дает непосредственное аналитическое продолжение /2(2) функции fi (z) в область D>. Описанную процедуру аналитического продолжения можно повторять неограниченно, выбирая за центры тейлоровских разложений все новые точки аз, а,*,… В результате мы придем к полной аналитической функции F (z); разложения fk{^z) в каждом из кругов D* будут являться ее регулярными ветвями.

Радиусы г* кругов Du можно увеличивать до тех пор, пока на Рис. 46.

границу круга не попадет хотя бы одна особая точка 2* (см. рис. 46). Поэтому граница Г области D сплошь состоит из ее особых точек (если бы нашелся участок границы, свободный от особых точек, то можно было бы продолжить F (z) в бблыпую область). Граница Г может состоять из линий, отрезков или других совокупностей точек. В простейших случаях Г состоит из отдельных особых точек. Для каждой из них существует достаточно малая проколотая окрестность, в которой определена полная аналитическая функция F (z). Если F (z) однозначна в некоторой проколотой окрестности особой точки z*. то 2* называется особой пипкой однозначного характера; если же F (z) многозначна в сколь угодно малой проколотой окрестности этой точки, то 2* называется особой точкой многозначного характера или точкой ветвления.

Например, для функции F (z) = l/z точка z* = 0 является особой точкой однозначного характера. Подробное исследование таких точек будет проведено далее.

Примером особой точки многозначного характера служит точка z* = 0 для функции F (z) = z (эта точка особая, так как F'(z) в этой точке не существует). Многозначность характера этой точки видна из того, что, продолжая функцию yfz — y/ze^ttp^ⁿ из некоторой области через цепочку, обходящую 0, в ту же область и двигаясь против часовой стрелки, мы придем к функции не совпадающей с исходной. Другим примером особой точки многозначного характера служит точка z* = 0 для функции Ln z. Подробным исследованием таких точек мы заниматься не будем.

В заключение заметим, что в процессе аналитического продолжения из кругов сходимости Dk можно построить риманову поверхность полной аналитической функции f (z), на которой F (z) будет однозначной. Для этого нужно считать, что если вновь получившийся круг некоторой цепочки заходит на старый (например, круг Dна Di на рис. 46), и получающееся продолжение Д (г) не совпадает с fi (z), то этот новый круг располагается на ином листе, нежели D — над или иод ним (о римановых поверхностях см. § 10).

Подобно крохотному ростку, несущему в себе информацию об огромном дереве, значения любой регулярной ветви, заданные в любом сколь угодно малом кружке, заключают в себе всю информацию о полной аналитической функции, позволяя восстановить ее значения с помощью аналитического продолжения.