Ряды. 
Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление

Числовые ряды

Пусть задана последовательность комплексных чисел z_n = х_п + + it/_n, п= 1,2,… Числовым рядом называется выражение вида.

Числа 21,2−2,… называются членами ряда. Отметим, что выражение (19.1), вообще говоря, нельзя рассматривать как сумму, поскольку невозможно выполнить сложение бесконечного числа слагаемых. Но если ограничиться конечным числом членов ряда (например, взять первые п членов), то получится обычная сумма, которую можно реально вычислить (каково бы ни было п). Сумма 5″ первых и членов ряда называется п-й частичной (частной) суммой ряда:

Ряд (19.1) называется сходящимся, если существует конечный предел п-х частичных сумм при п —? оо, т. е. существует.

Число 5 называется суммой ряда. Если lirn S_n не существует или п—"эо равен ос, то ряд (19.1) называется расходящимся.

Тот факт, что ряд (19.1) сходится и его сумма равна 5, записывается в виде

Эта запись не означает, что были сложены все члены ряда (это сделать невозможно). В то же время, сложив достаточно много членов ряда, можно получить частичные суммы, сколь угодно мало отклоняющиеся от S.

Следующая теорема устанавливает связь между сходимостью ряда с комплексными членами z_n = х_п + iy_n и рядов с действительными членами х_п и у_и.

Теорема 19.1. Для сходимости ряда (19.1) необходимо и до-

оо оо.

статочно, чтобы сходились два ряда? х_п и? с действительных П=1.

ос.

ними йенами. При этом для равенства? z_n = (Т + ir необходимо

П— 1.

ос ос.

и достаточно, чтобы? ^хп = <�т,? t/л = г.

Л=1 П=1.

Доказательство. Введем обозначения для частичных сумм рядов:

Тогда S_n = о_п + ir_n. Воспользуемся теперь теоремой 4.1 из § 4: для того чтобы последовательность S_n = <�т_п + ir_n имела предел S = = сг + ir, необходимо и достаточно, чтобы последовательности {<�т"} и {т_п} имели предел, причем liiri <�т" = о, lim т_п = т. Отсюда и сле;

п—юс л—>оо дует нужное утверждение, поскольку существование пределов последовательностей {S"}, {(7_п} и {т_п} равносильно сходимости рядов ОС' ОС' ОС'.

? Z_n,? Х_п и? у_п соответственно.

Л = 1 Л=1 П=1.

С помощью теоремы 19.1 многие важные свойства и утверждения, справедливые для рядов с действительными членами, сразу переносятся на ряды с комплексными членами. Перечислим некоторые из этих свойств.

оо.

1°. Необходимый признак сходимости. Если ряд? z_n сходится, п= 1.

то lim z_n = 0. (Обратное утверждение неверно: из того что lim z_n =.

л—юо я—>оо оо.

= 0, не следует, что ряд? ^zn сходится.).

п= 1.

ос ос.

2°. Пусть ряды? ^zn и? w_n с комплексными членами сходятся П=1 Л=1.

оо и их суммы равны S и о соответственно. Тогда ряд? (z_n + w_n) тоже п=1.

сходится и его сумма равна S + о.

оо.

3°. Пусть ряд ]? z_n сходится и его сумма равна S. Тогда для Л=1.

оо любого комплексного числа Л ряд? (Az_n) тоже сходится и его сумма л=1.

равна AS.

4°. Если отбросить или добавить к сходящемуся ряду конечное число членов, то получится также сходящийся ряд.

оо.

5°. Критерий сходимости Коши. Для сходимости ряда? z_n

п= 1.

необходимо и достаточно, чтобы для любого числа е > 0 существовало такое число N (зависящее от е), что при всех п > N и при всех.

п+р

р ^ 0 выполнено неравенство ^2 ^zk < ?•.

А-=н+1.

Так же как и для рядов с действительными членами, вводится понятие абсолютной сходимости.

ос Ряд ^zn называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд.

71— 1

ОО составленный из модулей членов данного ряда %2 ^zn

п= 1.

ОС ОО Теорема 19.2. Если сходится ряд ^2 |*п|" ^то ряд ^2 ^zn также

п=1 п=1.

сходится.

(Другими словами, если ряд сходится абсолютно, то он сходится.).

Доказательство. Поскольку критерий сходимости Коши применим к рядам с произвольными комплексными членами, то он применим, в частности, и к рядам с действительными членами. Возь;

оо мем произвольное е > 0. Так как ряд JZ Iz"| сходится, то в силу кри;

«=1.

терпя Коши, примененного к этому ряду, найдется такое число N, что при всех п > N и при всех р ^ 0.

В § 1 было показано, что z + w ^ |з| + |ш| для любых комплексных чисел z и w; это неравенство легко распространяется на любое конечное число слагаемых. Поэтому.

Итак, для любого е > 0 найдется число N, такое что при всех п >

п+р

Итак, для любого е > 0 найдется число N, такое что при всех п >

п+р

> N и при всех р ^ 0 выполнено неравенство J2 ^zk < Соглас;

А*=п+1.

ОО, но критерию Коши, ряд Y2 ^zn сходится, что и требовалось доказать.

п=1

Из курса математического анализа известно (см., например, [7, т. 2. Гл. XVI, § 2] или [3, С .185])), что утверждение, обратное теореме 19.2, неверно даже для рядов с действительными членами. А именно: из сходимости ряда не следует его абсолютная сходимость.

с".

Ряд J2 ^гп называется условно сходящимся, если этот ряд сходит;

п— 1.

оо ся, а ряд ^2 z_ni составленный из модулей его членов, расходится.

П=1.

ос Ряд ^zn является рядом с действительными неотрицательными ми членами. Поэтому к этому ряду применимы признаки сходимости, известные из курса математического анализа. Напомним без доказательства некоторые из них.

Признаки сравнения. Пусть числа z_u и w_n начиная с некоторого номера N удовлетворяют неравенствам z_n ^ |w_n|, п = = N, N + 1,… Тогда:

ос оо.

1) если ряд ^2 |w_n| сходится, то и ряд ^zn сходится:

П=1 П=1.

оо оо.

2) если ряд² Ы расходится, то и ряд ^2 1^ш«1 расходится.

П=1 П=1.

Признак Даламбера. Пусть существует предел

Тогда:

оо.

если I < 1, то ряд Y2 ^zn сходится абсолютно:

п= 1.

оо.

если I > 1, то ряд^{2 z}n расходится.

п=1

При / = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. «Р адикальн ы й» признак Коши. Пусть существует

предел lim /z_n = /. Тогда:

п-юо ос.

если I < 1, то ряд z_n сходится абсолютно;

и — 1.

ос.

если I > 1, то ряд 5Z ^zn расходится.

п= 1.

При I = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Пример 19.3. Исследовать сходимость рядов.

Решен и е. а) По определению косинуса (см. (12.2)).

Поэтому

⁰⁰ 1 (е ^п

Применим признак Даламбера к ряду Y1 о (о) ^:

я—1 ²

⁰⁰ 1 /е" .

Значит, ряд ^ - (-) расходится. (Расходимость этого ряда следует.

п= 1 ² '²'.

также из того, что его члены не ст!>емятся к нулю и, следовательно, необходимое условие сходимости не выполнено. Можно воспользоваться и тем, что члены ряда образуют геометрическую прогрессию эо.

cos г и со знаменателем q = е/2 > 1.) По признаку сравнения ряд 51 _0п

П=1 ²".

так же расход и тся.

б) Покажем, что величины cos (? -f п) ограничены одним и тем же числом. Действительно,.

| cos (г 4- п) = | cos i cos n — sin i sin 7i| ^.

^ | cosi|| cos 7?| 4−1 sinг|| sin 7?.| ^ | cosi| 4−1 sin i| = А/, где M — положительная постоянная. Отсюда.

oo _м

Ряд 5Z ^сх°дится. Значит, по признаку сравнения, ряд П— 1 ²" .

cos (i 4″ ii).

также сходится. Следовательно, исходный ряд 51 —~^т₁—~ сходится.

ft—1 ²".

абсолютно.

ос оо Ряд 5Z ^zki полученный из ряда 51 ^zk отбрасыванием первых п

к=п+1 к=1.

оо членов, называется остатком (п-м остатком) ряда 51 ^zk- В случае сходимости так же называется и сумма.

Легко видеть, что 5 = 5″ + г", где 5 — сумма, a S_n — частичная сумма.

ряда ^ Zf{- Отсюда сразу следует, что если ряд сходится, то его

к—

п-й остаток стремится к пулю при п -> оо. Действительно, пусть ос ряд У2 ^zk сходится, т. е. lirn 5″ = 5. Тогда lim г_п = lim (5 — 5″) =

ft—I П—>00 П—>00 «—>00.

= 5−5 = 0.