Процент, процентная ставка

В этом параграфе мы изучим более подробно важнейшее понятие финансовой математики — «процент», тесно связанное с кредитными операциями, и на его основе введем понятие процентной ставки и дадим основные определения доходности простейшей кредитной сделки.

Слово «процент» (от лат. pro centum, что означает «на сотню») может иметь два следующих значения.

Первое из них — математическое: 1% от некоторого числа S означает сотую долю этого числа, т. е. он равен 0,01*9. Так, 8% от числа 500 составляют.

Второе значение — экономическое: в финансовой сфере слово «процент» представляет собой плату (в рублях, долларах, марках и т. д.) за использование денежных средств (кредита, ссуды и т. д.), предоставляемых одним лицом (кредитором) другому лицу (заемщику, дебитору, должнику), выраженную в сотых долях от суммы долга. Таким образом, экономическое значение «процента» более емкое, чем математическое: оно констатирует тот факт, что «за долг надо платить», а также содержит в себе количественную характеристику долга — «сколько нужно платить».

Рассмотрим простой пример. Пусть инвестор кладет в банк на год сумму в 500 руб. под 8% годовых. Это значит, что в конце года инвестор кроме вложенных денег получит добавочно сумму I, называемую процентами по вкладу, составляющую

Эта сумма представляет собой плату за предоставленные инвестором байку средства, которыми он может распоряжаться в течение года. В данном случае инвестор является кредитором, т. е. лицом, дающим деньги взаймы, а банк — должником, т. е. лицом, берущим эти деньги и обязующимся вернуть их в положенный срок, уплатив по ним проценты.

Итак, по своему определению, процент / является, с одной стороны, денежным параметром кредитной сделки, а с другой — служит абсолютным показателем ее доходности. Однако ясно, что доходность кредитной сделки определяется не только величиной процента, но и тем, какая сумма была вложена для его получения, т. е. суммой кредита Р. Поэтому целесообразно иметь другой, так называемый относительный показатель доходности кредитной сделки, учитывающий как сам процент /, так и вложенную сумму S, на основе которой он был получен.

Определение 1. Величина.

или, учитывая временную привязку сумм сделки, называется процентной ставкой кредитной сделки за период ро. ч^+Т]•.

Таким образом, если I = S_t-S₀ показывает абсолютную величину дохода, полученного кредитором на всю сумму долга 5₀, то процентная ставка г указывает доход на единицу суммы кредита (одного рубля, доллара и т. д.).

Из формул (3.5), (3.6) вытекают следующие важные соотношения:

и, кроме того, или.

Следовательно, если мы знаем процентную ставку сделки, то по ее начальной сумме 5₀ можно найти все остальные финансовые параметры сделки: проценты / и полную (накопленную) сумму долга S_x.

Заметим, что и проценты /, и ставка г являются интервальными характеристиками, т. е. они соотносятся (непосредственно связаны) с периодом сделки. Чтобы подчеркнуть этот факт, часто пишут 1_Т и г_т, где Т — длина периода.

[г₀, t_x] сделки в выбранной временной шкале. Мы будем часто опускать индекс Т, обозначающий период сделки, если из контекста ясно, о каком периоде идет речь.

Прежде чем переходить к примерам, поясняющим смысл процентной ставки г, сделаем одно чисто техническое, но очень важное замечание. В нашем изложении процентная ставка /*, как и другие виды процентных ставок, которые будут вводиться в дальнейшем, имеет двоякий математический смысл. В расчетных формулах они, как правило, понимаются как сотые доли. При этом в их записи не используется символ % (конечный результат после вычисления по формуле может быть равен, например, 0,05 или 0,1 и т. д.). В то же время в тексте процентные ставки имеют уже реальный смысл процента и фактически всегда сопровождаются символом % (например, г= 10%). В тех случаях, когда могут быть отступления от этого правила, соответствующий смысл числового значения процентной ставки необходимо должен следовать из контекста.

Пример 1. Пусть в момент времени t₀ =0 выдан кредит на сумму 5₀ =5000 руб. сроком па Т = 2 года, по истечении которых кредитор должен получить 5, =10 000 руб. Тогда согласно формуле (3.6) процентная ставка г в этой сделке составит.

т.е. г= 100%.

Пример 2. Рассматривается простая кредитная сделка, состоящая в выдаче 2000 руб. на срок 3 года. Найти сумму погашения долга, если процентная ставка сделки составляет 60%. Решение. В этом примере (для годовой шкалы).

Согласно формуле (3.8) полная сумма (сумма погашения) долга равна.

Ставка г, определенная выше, относится ко всему периоду сделки. На практике наиболее часто используется другой вид процентной ставки, относящийся к некоторому выбранному базовому промежутку времени — в экономике и финансах это обычно год, но в зависимости от конкретных условий может быть выбран любой другой период времени. Выбор базового промежутка позволяет привести или, как еще говорят, нормировать процентную ставку сделки.

Определение 2. Простая нормированная процентная ставка сделки, приведенная к базовому периоду, — это отношение.

где T = t_{-t₀ — срок (длительность, период) сделки, выраженный в единицах базового периода.

С финансово-экономической точки зрения нормированная процентная ставка представляет собой для кредитора доход с единицы суммы кредита в единицу времени, а для заемщика — стоимость единицы суммы долга в единицу времени.

Подразумеваемый в определении нормированной процентной ставки базовый период часто выражают в форме соответствующего прилагательного — так говорят о годовой, месячной и других процентных ставках, опуская, если это возможно, слова простая и нормированная.

Пример 3. Для сделок из примеров 1 и 2 найти нормированные ставки этих сделок.

Решение. Для примера 1 ставка r= 1 (т.е. 100%) относится к двухлетнему периоду Г = 2. Таким образом, простая нормированная ставка сделки в этом случае будет равна.

т.е. 50% годовых.

В примере 2 ставка сделки г = 0,6 (т.е. 60%) относится к трехлетнему периоду Т= 3. Следовательно, в этом случае.

т.е. 20% годовых.

Подчеркнем, что нормированная ставка, являющаяся еще одной количественной (финансовой) характеристикой сделки, тесно связана со всеми остальными ее характеристиками. Так, несмотря на то, что эта ставка приведена к базовому промежутку, она согласно соотношению (3.8) характеризует сделку в рамках ее естественного периода, т. е. промежутка [г₀> П]- Сам же базовый период может выбираться безотносительно к периоду сделки. Принципы и цели его выбора будут подробно обсуждаться далее. Здесь можно провести лишь некоторую аналогию из механики.

Так, средняя скорость автомобиля, прошедшего 6 км за 10 мин, равна 36 км/ч. В таком представлении скорости базовый временной промежуток 1 час никак не связан с реальной (естественной) продолжительностью движения 10 мин.

Как будет показано ниже, именно нормированная процентная ставка является определяющим рыночным фактором для большинства кредитных сделок, совершаемых в современной экономике. Пока же для нас это просто одна из числовых характеристик реальной ши условной (планируемой) сделки.

Если нормированная ставка i известна, то мы можем выписать ряд очевидных следствий, вытекающих из ее определения:

Пример 4. Пусть кредит на сумму 2000 руб. выдан на 3 года по ставке 10% годовых. Найти проценты и сумму погашения кредита.

Решение. В условии указана годовая, т. е. нормированная, ставка сделки. В годовой шкале исходные параметры сделки имеют следующий вид:

Тогда проценты за 3 года (срок сделки) составят а сумма погашения равна

Ставка за период относится только к периоду сделки, нормированная же ставка связана с базовым периодом временной шкалы. Изменение базового периода приводит к изменению нормированной процентной ставки. Связь между нормированными простыми процентными ставками для разных базовых периодов очень проста. Если базовый период шкалы Т составляет k единиц шкалы Т, то имеет место соотношение.

В частности, например, годовая г_год и месячная i_Mec нормированные ставки связаны очевидным соотношением

Таким образом, к указанным выше трем временным параметрам t₀, Т, t_x и трем финансовым параметрам S₀, 5, /, характеризующим простейшую кредитную сделку, добавляются еще два финансовых параметра:

г — процентная ставка сделки за период [г₀, Г,],.

г — нормированная (простая) процентная ставка сделки, приведенная к базовому периоду временной шкалы.

Из пяти финансовых параметров два — 5₀ и 5, — являются фондовыми величинами, относящимися к моментам времени, а три остальных — I, г и i — интервальными, относящимися к промежутку времени — периоду сделки. Эти параметры связаны соотношениями, которые являются либо собственно определениями этих параметров — формулы (3.5), (3.6) и (3.9), либо их непосредственным следствием — формулы (3.3), (3.5) и (3.7)—(3.9).

В совокупности эти параметры и связывающие их соотношения составляют то, что называют математической моделью простейшей кредитной сделки.

Графическая иллюстрация этой модели представлена на временной диаграмме на рис. 3.3.

Рис. 3.3.

Заметим, что поскольку здесь речь идет о модели простой кредитной сделки, то все временные и финансовые характеристики задаются в модельных шкалах: временной Т и денежной М. Для применения этих моделей в практических случаях необходимо, как указывалось в гл. 2, осуществить преобразование исходных данных. Так, в случае выбранной годовой (модельной) шкалы Т продолжительность периодов в «днях» необходимо выразить в годовых единицах (в годах). В гл. 2 подробно описаны применяющиеся на практике способы такого преобразования. Заметим, что нет никакого смысла переписывать, как это делается во многих учебниках, теоретические формулы (3.5)—(3.12) в практические. Эго лишь усложняет формулы ненужными деталями. Так, формула (3.11) при использовании правила АСТ/365 для преобразования продолжительности периода в днях в годовые единицы и выражения для величины г в процентах (%) будет выглядеть как.

где D — срок в днях. Появление дополнительных констант 365, 100 лишь затемняет логическую структуру формулы для накопленных за период Т процентов. Все, что нужно для применения базовых формул (3.5)—(3.12), — это лишь сделать необходимые преобразования в соответствии с принятыми в конкретной сделке соглашениями.

Пример 5. Пусть банк выдал 14.02.2008 кредит на сумму 600 000 руб. под 10% годовых. Дата погашения кредита — 27.08.2009. Найти проценты и сумму погашения кредита, если используется правило АСТ/365.

Решение. В соответствии с правилом АСТ/365 найдем срок сделки «в годах». Поскольку согласно приложению 1 номера начальной 8_{ и конечной д₂ дат сделки равны то число дней между датами равно.

Отсюда получаем.

и следовательно согласно формулам (3.11) и (3.12) имеем и.

В приведенных выше примерах срок инвестирования выражался в годах, месяцах и т. д. Возможно также задание этого срока календарными датами первого и последнего дня. В таком случае для того, чтобы воспользоваться формулой простых процентов, нужно в качестве срока взять отношение числа дней ссуды к числу дней в году, т. е.

При этом возможно несколько вариантов расчета.

Число дней в году может быть принято равным 360 дням, тогда проценты называются обычными, или 365 дням, тогда проценты называются точными, т. е.

и

Очевидно, что при фиксированной годовой процентной ставке обычные проценты больше точных. Кроме того, существует два способа вычисления числа дней для срока инвестирования. Наиболее распространенным является подсчет точного числа дней указанного срока, исключая первый или последний день. Точное число дней можно вычислить, используя приложения 1 и 2, в которых приведен порядковый номер каждого дня в году.

Пример 6. Найти точное число дней между 5 марта и 29 сентября (год невисокосный).

Решение. По приложению 1 находим, что 28 сентября является 271-м днем, а 5 марта — 64-м днем года. Тогда число дней между этими датами равно 271 — 64 = 207 дней.

При другом подходе подсчитывается приближенное число дней, исходя из полного числа месяцев в сроке и числа дней (остатка) неполного месяца. При этом каждый месяц считается равным 30 дням.

Пример 7. Найти приближенное число дней между 5 марта и 28 сентября.

Решение. Поскольку между этими датами укладывается 6 месяцев (от 5 марта до 5 сентября) и остается еще 23 дня (от 5 сентября до 28 сентября), то число дней между этими датами равно 6*30 + 23 = 203 дня.

Итак, учитывая точные и обычные проценты, а также точное и приближенное число дней для срока инвестирования, получим четыре метода вычисления простых процентов.

• 1. Обычные проценты с точным числом дней (ACT/360 — банковское правило).
• 2. Точные проценты с точным числом дней (АСТ/365).
• 3. Обычные проценты с приближенным числом дней (30/360).
• 4. Точные проценты с приближенным числом дней (на практике не используются).

Наиболее часто применяется первый метод, называемый банковским правилом, реже — второй и третий, и почти никогда нс используется четвертый метод.

Временные параметры и начальную стоимость кредита S₀ обычно относят к исходным или первичным параметрам кредитной сделки. При установлении конкретных значений первичных параметров превалирующая роль отдается кредитору. Так, величина кредита определяется наличием у кредитора свободных денежных средств, а срок — промежутком времени, пока эти средства являются свободными, т. е. не будут использованы кредитором. Значения этих параметров во многих случаях могут устанавливаться кредитором произвольно. Например, вкладчик сам решает, какую сумму и на какой срок он хотел бы вложить в банк.

Остальные финансовые параметры относятся к вторичным или производным параметрам сделки. С одной стороны, они могут зависеть от первичных параметров — так, проценты по вкладу, естественно, тем больше, чем больше величина вклада и его срок. С другой стороны, они определяются не только первичными параметрами, но и другими факторами. В частности, разные банки привлекают вклады под разные процентные ставки, так что, например, на трехмесячный вклад в 10 000 руб. в разных банках будут начислены разные проценты.

Считая первичные параметры заданными, легко установить, что каждый из четырех вторичных параметров определяет три остальных. Таким образом, для полного описания кредитной сделки, по крайней мере, один из вторичных параметров должен быть явно указан.

В приведенных выше формальных определениях задавалась сумма процентов I (или конечная сумма долга), через которую выражались все остальные параметры. Такой подход естественен при анализе завершенных (реализованных) сделок, в которых все денежные суммы фиксируются в бухгалтерских записях. Тогда, например, зная начальную и конечную суммы долга, можно найти сумму процентов и процентную ставку (общую и нормированную). Вычисленная таким образом ставка называется реализованной. Кредитор в этом случае действительно реализовал такую доходность, проведя сделку.

Хотя каждая сделка в случае ее удачного завершения становится реализованной, прежде чем осуществиться, она была планируемой. Планируемые (ожидаемые сделки) играют, пожалуй, основную роль в применении математических методов в финансовой практике. Здесь как у кредитора, так и у должника появляется возможность выбора между различными вариантами. И как раз на этапе предварительного анализа роль математической модели представляется особенно важной, поскольку позволяет оценить эффективность различных вариантов сделки и выбрать оптимальный. В этой ситуации большую и даже, можно сказать, определяющую роль играет нормированная процентная ставка. Именно она вместе с первичными параметрами не только позволяет получить полное представление о сделке, но и дает возможность построения корректных математических моделей для анализа кредитных сделок.

Почему же именно нормированная процентная ставка является определяющим вторичным параметром кредитных сделок при их описании? Ниже мы попытаемся дать достаточно полный ответ на этот вопрос. Однако для этого нам потребуется более глубокий экономический анализ кредитных операций.

В этой связи, прежде всего, остановимся на одном важном свойстве кредитных сделок — их множественности.

Единичная (индивидуальная) завершенная или потенциальная сделка с формальной точки зрения есть просто набор из восьми чисел, связанных уравнениями (3.5)—(3.12). Хотя единичная сделка может представлять интерес для бухгалтера, ревизора или компетентных органов, она вряд ли может служить объектом содержательной математической модели, так как из-за одной сделки, вообще говоря, нет смысла городить огород. Построение математической модели финансовых операций осмысленно лишь в случае, когда они имеют массовый характер и при этом обладают определенными близкими или схожими признаками. Для кредитных сделок оба эти фактора имеют место.

В самом деле, кредитная сделка едва ли не самый распространенный вид финансовой операции. Вкладчик, помещая деньги в банк на определенный срок, становится кредитором банка, а банк — должником. Банк, в свою очередь, передает привлеченные от вкладчиков средства промышленным предприятиям, фирмам, другим банкам, а также физическим лицам в качестве кредита. Таким образом, банки и другие кредитные учреждения являются посредниками на одном из самых значительных секторов финансового рынка — кредитном рынке.

Основным видом товара, обращающимся на этом рынке, являются кредитные ресурсы, представляющие собой временно свободные денежные средства частных лиц, предприятий, государства и др.

Главные участники этого рынка — юридические и физические лица, обладающие избытком свободных денежных средств, и юридические и физические лица, испытывающие недостаток средств. Первые создают предложение, а вторые — спрос на кредитном рынке. Структура предложения, т. е. величина свободных средств и сроки, на которые они могут быть предоставлены, значительно варьируется у различных кредиторов. Весьма разнообразна и структура спроса, т. е. величина требуемых заемщиками средств и сроки, на которые эти средства им необходимы.

Соответствие между спросом и предложением путем установления прямого контакта с заключением договора между кредитором и заемщиком возможно лишь в том случае, когда объемы и сроки предлагаемых и требуемых средств совпадают, а также, когда доход кредитора (проценты) является приемлемой ценой для заемщика. Такое бывает достаточно редко, поэтому так важна роль банков как основных посредников кредитного рынка, которые, привлекая свободные средства кредиторов в виде вкладов (различной величины и срочности), формируют совокупный пул денежных средств — пассивы банка и передают их в виде кредитов (также различной величины и срочности) своим заемщикам, формируя активы банка.

Аккумулирование привлеченных банком средств позволяет преодолеть упомянутое выше несовпадение структуры спроса и предложения на кредитном рынке. Банки, связывая основных агентов кредитного рынка, получают прибыль благодаря тому, что платят в целом вкладчикам меньше, чем взимают с заемщиков. Конкурируя друг с другом, они стремятся привлечь, с одной стороны, как можно большее число вкладчиков, поощряя вложение ими как можно больших средств на возможно большие сроки, причем стремясь заплатить за это как можно меньше процентов. С другой стороны, банки хотят выдать как можно больше кредитов, стремясь ради уменьшения риска уменьшить их размер и сроки на одного заемщика, требуя при этом как можно большие проценты за предоставленные кредиты.

Будучи товаром, кредитные ресурсы имеют свою цену. Обычно, говоря о цене товара, подразумевают цену некоторой единицы товара, которая может исчисляться в штуках, килограммах, метрах и г. д. В тех случаях, когда в потреблении товара играет роль время, например аренда, поставка электроэнергии, труд и т. д., в единице товара оно может явно учитываться — так, говорят о киловатт-часах, месячной заработной плате и г. д. Как уже упоминалось, первичными характеристиками кредита являются его сумма (основная) и срок, на который он выдается. Поэтому роль единицы кредитных ресурсов играет денежная единица за единицу времени. Легко видеть тогда, что для нормированной процентной ставки.

при Р = 1 и Т = 1 имеем.

Таким образом, нормированная процентная ставка I представляет собой стоимость единицы кредитных ресурсов в единицу времени (для заданной денежной и временной шкалы). Например, 15%-ная годовая ставка по валютному вкладу означает, что за каждый привлеченный на один год доллар банк должен заплатить вкладчику 15 центов.

Как известно, равновесная цена товара на рынке складывается в результате взаимодействия спроса и предложения. Механизм такого взаимодействия поддерживается, с одной стороны, конкуренцией между продавцами (кредиторами), а с другой — между покупателями (должниками).

Конкуренция банков и их клиентов (вкладчиков и заемщиков), создавая активный и динамичный рынок, устанавливает равновесную цену для привлеченных средств — ставку по депозитам, или ставку привлечения, и предлагаемых средств — ставку по кредитам, или ставку размещения. Например, для банка ставка привлечения ²_Прив означает стоимость привлекаемых ресурсов, тогда как ставка размещения ²разм ^— доходность или эффективность их использования. Естественно, что для успешной работы и получения прибыли доходы должны превосходить расходы, т. е. ставка размещения должна быть выше ставки привлечения.

Как показывает практика, по крайней мере, для краткосрочных кредитных сделок (сроком до года), осуществляемых на рынке, именно простые нормированные годовые ставки обладают определенной устойчивостью, т. е. в условиях стабильного рынка они приближаются к некоторым «равновесным» (или средним) значениям, допуская в каждом конкретном случае лишь незначительные колебания вокруг этих значений. И чем ближе временные, финансовые и другие характеристики сделок, тем меньше это колебание относительно средних ставок для этой группы сделок. Например, конкретный банк привлекает депозиты на близкие сроки и близкие суммы по одной годовой ставке.

Заметим, что наличие равновесной цепы — процентной ставки есть эмпирический, а не умозрительный факт. Именно он позволяет говорить об определяющей роли нормированной процентной ставки при построении математической модели кредитных сделок.