Законы распределения результатов измерения

Закон распределения — математическое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями варианты и соответствующими им вероятностями.

Кривая распределения — это предел, к которому стремится полигон частот при неограниченном увеличении объема статистической совокупности и уменьшении интервалов (увеличение точности измерения, переход от дискретной величины к непрерывной). Она дает характеристику некоторой генеральной совокупности, т. е. получаемые в эксперименте выборки, лишь в той или иной степени приближаются к своему теоретическому пределу. Кривая распределения позволяет наглядно представить форму распределения, т. е. определенную закономерность специфической концентрации вариант в цельной статистической совокупности.

Форма распределения является некоторой обобщенной характеристикой выборки: ведь исследуемая статистическая закономерность проявляется не только в обозначении среднего уровня измеренного процесса, но и в регуляции отклонений от этого уровня, т. е. в обозначении формы статистического распределения.

Все бесконечное разнообразие эмпирических кривых распределения (вне связи с теоретико-вероятностными построениями) принято делить на две большие группы: одновершинные и многовершинные.

Последние называются также составными распределениями, т. е. являются следствием совместного графического представления различных (качественно разнородных) статистических совокупностей, в образовании которых преобладают какие-то различные закономерности.

Одновершинные распределения в свою очередь делятся на следующие группы:

• а) симметричные, т. е. такие, в которых идет равновероятное уменьшение величины признака по обе стороны от некоторого и максимально частого значения (примером таких, сравнительно редко встречающихся в практике распределений, является расположение людей по величине роста):
  • · треугольные (рис. 1а);
  • · трапецеидальные (рис. 1б);
  • · равномерные (рис. 1в);
  • · антимодальные I (рис. 1г);
  • · антимодальные II (рис. 1д);

Рисунок 1

б) умеренно-асимметричные или скошенные, в которых убывание числовых значений переменной в одну из сторон выражено заметно сильнее. Таковы, например, распределения подавляющего большинства измерений эффективности человеческой деятельности; в) распределения крайне асимметричные, характерные, например, для распределения населения развитых стран по величине материальной обеспеченности; г) У-образные, в которых наибольшая частота свойственна обоим крайним значениям признака, например распределение облачности в районе Гринвичского меридиана.

Использование на практике вероятностного подхода к оценке погрешностей результатов измерений прежде всего предполагает знание аналитической модели закона распределения рассматриваемой погрешности. Встречающиеся в метрологии распределения достаточно разнообразны.

Множество законов распределения случайных величин, используемых в метрологии, целесообразно классифицировать следующим образом:

· трапецеидальные (плосковершинные) распределения.

К ним относятся: равномерное, собственно трапецеидальное и треугольное (Симпсона);

• · уплощенные (приблизительно плосковершинные) распределения;
• · экспоненциальные распределения;
• · семейство распределений Стьюдента;
• · двухмодальные распределения.

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Наибольшее распространение получил нормальный закон распределения, называемый часто распределением Гаусса:

Где? — параметр рассеивания распределения, равный СКО;

Х_ц — центр распределения, равный математическому ожиданию.

Вид нормального рисунка показан на рисунке 2.

Рисунок 2.

При введении новой переменной t = (х — Х_ц)/? получается нормированное нормальное распределение, интегральная и дифференциальная функции которого соответственно равны:

Нормирование приводит к переносу начала координат в центр распределения и выражению абсциссы в долях СКО. Значения интегральной и дифференциальной функций нормированного нормального распределения сведены в таблицы, которые можно найти в литературе по теории вероятностей.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом называют функцией Лапласа. Для неё справедливы следующие равенства:

Функция Лапласа используется для определения значений интегральных функций нормальных распределений. Функция F (t)связана с функцией Лапласа формулой:

Значения функции Лапласа для различных значений (t) приведены в таблице: измерение гистограмма распределение.

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: x? и ?.

Изменение величины параметра x? (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если x? возрастает, и влево, если x? убывает.

С возрастанием? максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е. сжимается к оси Ох; при убывании? нормальная кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси Оу.

При любых значениях параметров x? и? площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х, остается равной единице.

Семейство распределений Стьюдента

Эти законы описывают плотность распределения вероятности среднего арифметического, вычисленного по выборке из n случайных отсчетов нормально распределенной генеральной совокупности. Распределения Стьюдента нашли широкое применение при статистической обработке результатов многократных измерений. Их вид зависит от числа отсчетов n, по которым находится среднее арифметическое значение, поэтому и говорят о семействе законов.

В центрированном и нормированном виде они описываются формулой.

где k — число степеней свободы, зависящее от числа n усредняющих отсчетов: k=n-1. Вид распределения Стьюдента для различных значений k показан на рисунке 2. При увеличении k распределение Стьюдента переходит в распределение Гаусса.

Распределения Стьюдента имеют ряд особенностей:

• · при n<3 их СКО становится равным бесконечности, т. е. дисперсионная оценка ширины разброса не работает (перестает существовать);
• · классический аппарат моментов для оценки формы и ширины распределения Стьюдента с малым числом степеней свободы оказывается не работоспособным, и их ширина и форма могут быть оценены лишь с использованием доверительных и энтропийных оценок. Этим распределение Стьюдента резко отличается от других распределений.

Трапецеидальные распределения

К трапецеидальным распределениям относятся: равномерное, собственно трапецеидальное и треугольное (Симпсона).

Равномерное распределение определяется уравнением.

Трапецеидальное распределение образуется как композиция двух равномерных распределений шириной a₁ и а₂:

Треугольное распределение (Симпсона) — это частный случай трапецеидального, для которого размеры исходных равномерных распределений одинаковы a₁=a₂:

где x?, a, b — параметры распределения.

Математическое ожидание всех трапецеидальных распределений:

x? = (x₁ + х₂)/2.

Медианы из соображений симметрии равны МО. Равномерное и собственно трапецеидальное распределение моды не имеют, а мода треугольного равна 1/а.

Среднее квадратическое отклонение в зависимости от распределения определяется по формуле:

• равномерное ?_р = a/;

· трапецеидальное? = ²=²

· треугольное? = а/.

Из приведенных уравнений следует, что СКО трапецеидальных распределений возрастает в 1,41 раза с ростом параметра b от нуля (треугольное) до, а (равномерное). Коэффициент асимметрии всех трапецеидальных распределений равен нулю.

Равномерное распределение имеют погрешности: округления при расчетах, отсчета показаний стрелочного прибора, от трения в стрелочных приборах с креплением подвижной части на кернах или подпятниках. Суммируясь между собой, эти погрешности образуют трапецеидальные распределения с различными отношениями сторон.