Построение хеджирующего портфеля для финансовой компании

Перейдем к построению портфеля, формируемого из находящихся в короткой позиции нефтяных фьючерсных контрактов и хеджирующего длинную позицию финансовой компании по приобретенным нефтяным брентам. Будем исходить из того, что цена фьючерсного контракта x_t следует случайному процессу, являющемуся геометрическим броуновским движением и, следовательно, удовлетворяющему стохастическому дифференциальному уравнению.

где c_t = c (t, со) — неизвестный коэффициент сноса, представляющий собой случайную функцию времени; W, — стандартный винеровский процесс;

a — известная постоянная, соответствующая усредненному коэффициенту волатильности а, являющемуся случайным процессом, и определяемая на основе свойства квазиэргодичности исходя из формулы.

t.

Современные методы оценки интегральной волатильности ²ds

о по наблюдаемой реализации процесса x_t приведены в обзоре в параграфе 8.2.

Число фьючерсных контрактов, находящийся в портфеле финансовой компании на каждый момент времени ?, обозначим через a_t, при этом a_t< О на всем промежутке времени t е [0; Г], соответствующем сроку действия заключенного с НПЗ своп-соглашения. Более того, количество фьючерсных контрактов а_т, находящихся в портфеле на момент времени Т, должно отвечать сумме заключенной сделки по датированным брентам.

Цель последовательного изменения a_t во времени заключается в том, чтобы на момент времени Т средневзвешенная цена приобретенных фьючерсных контрактов в количестве а_т была бы по возможности минимальной. Последнее обстоятельство подразумевает весьма сложную спекуляцию фьючерсными контрактами, включающую не только их постепенную продажу, но и частичное приобретение в определенные моменты времени в количестве, отвечающем динамике их рыночной цены.

С целью построения соответствующего управления динамикой a_t введем в рассмотрение ценовой коридор [а; Ь], полагая, что наблюдаемые значения цены фьючерсного контракта, т. е. реализация случайного процесса x_t на всем промежутке времени t е [0; 7] будет находиться в указанном ценовом коридоре и, соответственно, x_t e[a;b. Возникающая здесь проблема заключается в том, что выбор слишком узкого ценового коридора приводит к увеличению вероятности его пересечения наблюдаемым значением цены.

В то же время, как показывает детальный анализ, проведенный в гл. 5, выбор слишком широкого ценового коридора существенно замедляет рост прибыльности такого портфеля. Ниже мы укажем на способ расширения ценового коридора в процессе совершения торговых операций при возникновении такой необходимости. Кроме того, для удобства вычислений нормируем цену фьючерсного контракта на величину верхней границы ценового коридора и, соответственно, в процессе дальнейшего изложения будем полагать, что x_t е (р; 1), где р = а/b, как это показано на рис. 6.7.

Далее введем в рассмотрение зависимость ср (х), отвечающую первой собственной функции следующей задачи Штурма — Лиувилля:

Рис. 6.7. Выбор нормированного ценового коридора.

Нетрудно убедиться, что в качестве первой собственной функции можно.

*.

выбрать ср (х) = у[х sm (b x)> при этом Ь = ——< 0, где Z* является корнем.

1пр

.2 2.

трансцендентного уравнения tgz =, как это показано на рис 6.8.

In р

Рис. 6.8. Графическое решение трансцендентного уравнения.

В свою очередь первое собственное число отвечающее первой собственной функции задачи (6.6), удовлетворяет зависимости =b² + ¼. При этом заметим, что ф'(1) = Ь<0.

Зададим теперь динамику изменения количества фьючерсных контрактов в портфеле a_t следующим образом:

где постоянная и₀ > 0 определяется из соотношения.

Здесь V_T — сумма денежных средств, инвестированных финансовой компанией в датированныебренты. Выбор зависимостей (6.7), (6.8) определяется следующим результатом.

Теорема 6.1. Пусть портфель составлен из одного вида ценных бумаг и цена каждой из них следует стохастическому дифференциальному уравнению (6.4). Тогда если количество бумаг в портфеле a_t изменяется в соответствии с формулой (6.7), то прибыльность портфеля Р_{ определяется зависимостью

где величина.

соответствует динамике инвестируемого в портфель объема денежных средств.

Доказательство теоремы приведено в подпараграфе 6.3.5 и фактически повторяет доказательство аналогичного результата для случая длинной позиции, представленного в гл. 5. Заметим только, что граничные условия в задаче (6.6) отличаются от рассмотренных в указанной главе в силу выбора короткой позиции.

Наконец, обратим внимание на то, что в формуле (6.9) рост t и увеличение волатильности, а приводит к уменьшению по модулю второго слагаемого. Последнее обстоятельство обеспечивает в процессе совершения торговых операций выход с ростом t на положительную доходность формируемого таким образом портфеля. Следовательно, изменение количества бумаг в портфеле в соответствии с формулой (6.7) приводит к уменьшению средневзвешенной цены приобретаемых активов.

Особо отметим то обстоятельство, что выбор в роли зависимости cp (x) именно первой собственной функции задачи Штурма — Лиувилля (6.6) обеспечивает отсутствие сингулярности в знаменателе формулы (6.7) при изменении наблюдаемого значения цены внутри выбранного ценового коридора. При этом существенно подчеркнуть, что в формулу (6.7), определяющую количество фьючерсных контрактов в хеджирующем портфеле, в качестве обратной связи входят только значения цен совершаемых по данному активу сделок, но при этом не входят параметры стохастического дифференциального уравнения (6.5), а именно, волатильность ст и коэффициент сноса с_г Последнее обстоятельство является чрезвычайно важным, поскольку в противном случае ошибки в значениях указанных величин, в частности использование усредненной волатильности, а вместо ее точного значения д_п могли бы привести к существенным погрешностям в определении количества включаемых в портфель фьючерсных контрактов и, как следствие, к формированию портфеля, не отвечающего основному предъявляемому к нему требованию. Как было отмечено выше, данное требование заключается в минимизации средневзвешенной цены составляющих портфель активов.