Философия математики Бертрана Рассела

То, что может быть познано в математике и математическими средствами, можно дедуцировать из чистой логики.

Б. Рассел. Введение в математическую философию Во всех вопросах логического анализа мы обязаны главным образом Фреге.

А. Уайтхед, Б. Рассел.

Принципы математики

Есть свидетельство, что Рассел (1872−1970) сначала послал сообщение о противоречивости понятия «класс всех классов» Джузеппе Пеано, и лишь не получив от него ответа, вступил в переписку с Фреге^[1]. Эта переписка послужила началом интенсивного изучения работ Фреге и сотрудничества с Альфредом Уайтхедом (1861−1947) по созданию грандиозного проекта сведения математики к логике под названием «Principia Mathcmatica»^[2]. Согласно этому проекту предполагалось сведение к логике не только арифметики, но и других разделов математики — прежде всего анализа. Кроме того, он планировался как обобщение наиболее важных результатов, полученных к тому времени в области обоснования математики, включая прежде всего работы Пеано и Фреге.

Три цели вдохновляли авторов «Принципов математики» на создание универсального логического языка. Во-первых, они стремились с его помощью провести тщательный логический анализ всех терминов и способов доказательства, используемых математиками, а также свести к минимуму множество неопределяемых математических терминов и недоказываемых (исходных) высказываний, т. е. аксиом. Во-вторых, в таком языке они видели лучший способ выявления и выражения изначальной логической структуры выделенных математических терминов и высказываний. В-третьих, универсальный логический язык казался им самым эффективным средством избавления логики и теории множеств от парадоксов.

Логический анализ исходных понятий и законов математики Рассел назвал математической философией.

Два шага в истории этого анализа стали революционными, отмечает Рассел. Первый — арифметизация математики, т. е. сведение ее многообразного содержания к единой теории натуральных чисел. «Всю традиционную чистую математику, включая аналитическую геометрию, можно считать полностью состоящей из высказываний о натуральных числах. Иными словами, ее термины можно определить с помощью натуральных чисел, а ее высказывания можно дедуцировать из свойств натуральных чисел, используя в качестве вспомогательного средства идеи и высказывания чистой логики»^[3]. Второй — аксиоматизация арифметики, т. е. сведение теории натуральных чисел к небольшому множеству аксиом и неопределяемых терминов. Эта работа, говорит Рассел, была выполнена итальянским математиком Пеано. Как показал Пеано, достаточно всего трех неопределяемых терминов и пяти аксиом, носящих его имя, чтобы формализовать всю теорию натуральных чисел и тем самым арифметику.

Когда-то математика и логика были полностью различными сферами интеллектуальной деятельности. Но в настоящее время, считает Рассел, они настолько переплелись, что чрезвычайно трудно провести между ними четкую границу. Фактически они слились в одну единую науку. Тем, кто в этом еще сомневается, Рассел предлагает заглянуть в «Принципы математики» и поискать в определениях и дедукциях этого сочинения границу, четко отделяющую логику от математики. Такую границу, заверяет Рассел, невозможно провести. Но если логика и математика — части одной науки, то у них должен быть единый предмет. Таким предметом является логическая форма высказываний, точнее говоря, универсальный логический язык, в котором могут быть выразимы с максимальной точностью любые математические утверждения.

• [1] Sluga Н. D. Op. cit. P. 177−178.
• [2] WhiteheadА. у Russell В. Principia Mathematica. Cambridge, 1950 (2d ed.). 3 vols.
• [3] Russell B. Introduction to Mathematical Philosophy. London, 1919. P. 4.