Теория пределов. 
Математика

Определение предела

Пусть некоторое явление описывается функцией У = fix) с областью определения X.

А. Предполагая, что область определения Х не ограничена справа, рассмотрим процесс 1-го типа, т. е. х —> оо. Дадим следующее определение.

Определение 6.1. Число b называется пределом функции у = fix) при х —> °°, если для любого сколь угодно малого положительного числа s существует такое число N (зависящее от с), что для всех х, удовлетворяющих условию х > Л^г, выполняется неравенство:

В символической записи:

Говорят так: при х, стремящемся к бесконечности, fix) стремится к Ь.

Для иллюстрации в качестве примера обратимся к дробно-линейной функции:

которую мы рассматривали в 5 главе (см. рис. 5.6). Рассуждая на интуитивном уровне, мы высказались в таком духе, что при неограниченном возрастании аргумента х (т.е. х ->+">) значение функции y = fix) неограниченно приближается к числу 2 (т.е. у —> 2).Теперь мы в состоянии придать этому утверждению точный смысл, обратившись к данному определению. Для доказательства соотношения:

покажем, как в этом примере по заданному в найти необходимое N. Так как:

то условие: выполняется для всех х, удовлетворяющих неравенству:

Решение этого неравенства имеет вид.

Если в качестве N принять выражение, стоящее в правой части последнего неравенства, то, поскольку все три неравенства равносильны, требование, содержащееся в определении предела, будет выполнено.

Геометрическая интерпретация этого результата выражается в том, что при х —> ⁰⁰ гипербола, служащая графиком данной функции, асимптотически приближается к горизонтальной прямой у = 2.

Б. Перейдем к процессу 2-го типа. I [усть точка х₀ принадлежит области определения X функции у = f{x). Дадим следующее определение.

Определение 6.2. Число b называется пределом функции у = /(х) при л:—>л;о, если для любого сколь угодно малого положительного числа е существует такое положительное число 5 (зависящее от е), что для всех х (х* х₀), удовлетворяющих условию |лг—л:₀| < 5, выполняется неравенство:

В символической записи.

Говорят так: при х, стремящемся к x_(h /(х) стремится к Ь.

Суть данного определения в том, что в нем заключена идея близости функции f (x) к своему пределу b при условии близости аргумента х к своему предельному значению х₀. Переменная величина близка к своему пределу, т. е. к некоторому постоянному числу, если мала их разность (по модулю), в этом случае мало расстояние между соответствующими точками на числовой оси.

Замечание. Иногда 2-й тип процесса подразделяют на два случая в зависимости от того, стремится ли х к х₀ слева (т.е. оставаясь меньше, чем л₀) или справа (т.е. оставаясь больше, чем х₀).

При вычислении пределов нет необходимости каждый раз действовать буквально по определению (как говорится, «плясать от печки») — так, как мы поступили в вышеприведенном примере, когда нашли зависимость между фигурирующими в определении предела величинами N и е. Иногда достаточно простых рассуждений на интуитивном уровне. Например, для вычисления предела функции у = х² при х, стремящимся к 3, достаточно такого рассуждения: если х близко к 3, то х² близко к З², поэтому Однако во многих случаях для нахождения пределов такого умозрительного подхода недостаточно. На помощь приходят разнообразные правила вычисления пределов, основанные на свойствах пределов; их изучение упростится после проведения некоторой предварительной классификации, к которой мы и переходим.