Анализ экстремальных задач. 
Условия существования экстремума

Определение. Функция f (x), определенная на множестве D, достигает своего глобального min в точке x*eD в том и только том случае, если.

Замечание. Если же можно указать 8 — окрестность точки х*, в которой выполняется условие /(**) </(*), то говорят, что функция f (x) имеет на множестве D локальный min. Локальных экстремумов на интервале D может быть несколько.

Определение. Функция /(х)еТ?¹ является унимодальной на отрезке а<�х<�Ь, если любой её локальный min на отрезке [я,/?] одновременно является и глобальным.

Из определения унимодальной функции не следует правила проверки этого свойства функций. Однако в теории оптимизации можно выделить важный класс унимодальных функций — класс вогнутых и выпуклых функций, которые допускают такую проверку.

Рис. 1.5. Геометрическая иллюстрация неравенства Иенсена

Определение: функция Jx), определенная на интервале [а, Ь], называется выпуклой (выпуклая вниз функция) тогда и только тогда, когда для любых двух точек х, х₂ е. а, Ь] выполняется неравенство Иенсена

То есть прямая, соединяющая две точки j{x) и Дхг), лежит выше всех значений функции Дх) при хе[х_ь х₂].

Геометрическая иллюстрация неравенства Иенсена приведена на рис. 1.5.