Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 1.

Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что.

• а) сумма числа очков не превосходит N;
• б) произведение числа очков не превосходит N
• в) произведение числа очков делится на N

Решение:

• а) сумма числа очков не превосходит 12. Событие: «при бросании двух игральных костей сумма очков не превзойдет 12» есть достоверное. Её вероятность равна 1.
• б) Произведение числа очков не превосходит 12.

Найдем вероятность обратного события: произведение числа очково превосходит 12, это возможно в случаях:

" на каждом кубике число очков превосходит 4 (то есть выпадает 4, 5, 6)". Найдем эту вероятность.

Обратная вероятность:

в) произведение числа очков делится на 12. Это возможно в случае, если: выпадают 3 и 4 или выпадают 2 и 6. Найдем эту вероятность:

Ответ: P (a)=1, P (б)=¾, Р (в)=1/9.

Задача 2.

Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно i=1,2,3,4. Для контроля наудачу берутся m изделий. Определить вероятность того, что среди них первосортных, , и второго, третьего и четвертого сорта соответственно (см. п. 2.1, 2.2 и исходные данные).

Для решения будем пользоваться «урновой схемой» :

в первом случае определим величины:

Расшифровка урновой схемы: из совокупности объектов N, где n объектов обладают каким-то свойством производится выборка объемом m. Найти вероятность того, что k выбранных изделий обладают этим свойством.

во втором случае определим величины:

в третьем случае определим величины:

в четвертом случае определим величины:

Задача 3.

Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди них l выигрышных Расшифровка урновой схемы: из совокупности объектов N, где n объектов обладают каким-то свойством производится выборка объемом m. Найти вероятность того, что k выбранных изделий обладают этим свойством.

В нашем случае.

Задача 4.

В лифт k-этажного дома сели n пассажиров (n.

Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность что, что а) все вышли на разных этажах;

б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже Решение.

Решение.

" Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события, А равна p, событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна:

(число комбинаций из n по k).

вероятность события а).

событие б) есть событие, обратное событию а) и его вероятность:

Задача 5.

В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит величину l/k.

Решение. Используем определение геометрической вероятности:

Пусть точка делит отрезок в отношении. ? есть геометрическая вероятность попадания точки в отрезок длиной? (поскольку L равно 1). Событие: расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит 5/7 есть событие невозможное, поскольку данный отрезок имеет единичную длину. Вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит 5/7 равна 0.

Задача 6.

Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от до. Одно из событий длится 10 мин, другое — t мин. Определить вероятность того, что:

• а) события «перекрываются» по времени;
• б) «не перекрываются» по времени.

Решение.

Используем геометрическую вероятность.

вероятность того, что события перекрываются во времени:

вероятность того, что события не перекрываются во времени есть обратная вероятность от первого события:

Ответ: эта вероятность равна.

Задача 7.

В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны и.

Решение.

Так как фигуры не перекрываются, то вероятность посчитаем по формуле:

Ответ.

Задача 8.

В двух партиях и % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

• а) хотя бы одно бракованное;
• б) два бракованных;
• в) одно доброкачественное и одно бракованное?

Решение.

Вероятность того, что есть хотя бы одно бракованное изделие, есть обратная вероятность от того, что два изделия доброкачественные. Вероятности, того, что взятое наудачу изделия из первой и второй партии соответственно определяем по статистическому определению вероятности:

вероятность того, что оба изделия бракованны, определяем, как и прежде с помощью теоремы умножения независимых событий, то есть:

Ответ:

Задача 9.

Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком, вторым. Первый сделал выстрелов, второй выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли, чтобы найти вероятность, что каждый стрелок ни разу не попал в мишень:

Вероятность того, что цель не поражена, есть произведение вероятностей независимых событий: «первый стрелок не попал в цель», «второй стрелок не попал в цель» .

Ответ: вероятность того, что цель не поражена равна.

Задача 10.

Два игрока, А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадает герб. Первый бросок делает игрок А, второй — В, третий — А и т. д.

1. Найти вероятность указанного ниже события.

Варианты 18. Выиграл B до k-го броска.

Решение.

Расшифровка событий: А бросает монету, выпадает решка, В бросает монету выпадает герб (вероятность расписана в первой сумме, далее аналогично, только, А и В бросают монету, всякий раз выпадает решка кроме последнего броска, который делает В). Нечетное число раз из суммы должно быть исключено, тогда получается, что, А в последний раз бросает монету. В вероятность не включаем число произведений равных шести, так как в задании указано найти вероятность до 6-го броска.

Задача 11.

Урна содержит М занумерованных шаров с номерами от 1 до М. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:

А — номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, …М;

B — хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;

С — нет ни одного совпадания номера шара и порядкового номера извлечения. Определить вероятности событий А, В, С. Найти предельные значения вероятностей при М, стремящемся к бесконечности.

Решение. Так как число номеров равно числу шаров, то очевидно, что два шара не могут иметь один и тот же номер, шары извлекаются без возвращения, поэтому число вариантов всех перестановок равно М! Так как требуемая перестановка — одна, то по классическому определению вероятности, получим:

Хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения: Номер извлечения i и номер шара также i, и это событие происходит хотя бы один раз. Это событие, обратное событию С: ни разу не будет совпадения. Количество всех перестановок Последовательность 1,2,3…M наступает один раз, когда извлекаются все шары. Необходимо определить такое количество перестановок обратного события, когда в перестановке нет совпадения номера шара и номера извлечения. Это число равно.

Предельные значения вероятностей событий, А и С при неограниченном возрастании M равны 0.

Предельные значения вероятностей события В при неограниченном возрастании M равна 1.

Задача 12.

Из 1000 ламп принадлежит i-й партии, i=1,2,3 В первой партии, во второй партии, в третьей партии бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.

Решение: Выделим полную группу событий: пусть В1- событие «лампа принадлежит первой партии. В2, В3-события «лампа принадлежит второй (третьей) партиии соответственно. В1,В2,В3-образуют полную группу, так как они попарно несовместны и Р (В1+В2+В3)=1.

Пусть событие, А — «выбранная лампа — бракованная.». Применим формулу полной вероятности:

Определим вероятности гипотез:

Запишем условные вероятности события А, соответствующие событиям из полной группы (даны по условию):

Ответ: 0.0543.

Задача 13.

В первой урне белых и черных шаров, во второй белых и черных. Из первой во вторую переложено K шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар — белый.

Решение: определим событие, А — выбранный из второй урны шар белый. Определим события гипотезы:

— при перекладывании во вторую урну попался единственный черный шар из первой урны.

— при перекладывании во вторую урну не попался единственный черный шар из первой урны. Вероятности гипотез определим из урновой схемы:

Расшифровка урновой схемы: из совокупности объектов N=21, где n=20 объектов обладают каким-то свойством производится выборка объемом m=15. Найти вероятность того, что k=15 выбранных изделий обладают этим свойством.

Определим условные вероятности, того, что из второй урны возьмут белый шар при условии того, что произойдут события и.

Ответ.

Задача 14.

В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые и гашеные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого наудачу извлекается m марок. Определить вероятность того, что все n марок чистые.

Решение.

Решение. Определим событие, А — все марки, извлеченные из альбома во второй раз — чистые. Определим гипотезы:

— извлечены две гашеные марки.

— извлечены две чистые марки.

— извлечены одна гашеная и одна чистая марка.

Вероятности гипотез определим по формуле умножения вероятностей зависимых событий:

Определим условные вероятности события А:

если были подвергнуты гашению уже гашеные марки, то соотношение гашеных и негашеных марок в альбоме не изменится.

если были вытащены две чистые марки, и подвергнуты гашению, то после возвращения в альбом не останется ни одной чистой марки.

если были извлечены одна чистая и одна гашеная марка, то число гашеных марок после возвращения в альбом увеличится на 1. 6 марок гашеных. Вытащить после этого 2 чистые марки невозможно.

Ответ: 1/441.

Задача 15.

В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет изделий (i=1,2,3). Среди изделий i-го завода первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом.

Решение. Пусть событие, А — куплено первосортное изделие. Определим гипотезы:

— изделие выпущено первым заводом.

— изделие выпущено вторым заводом.

— изделие выпущено третьим заводом В результате испытания появилось событие А. Переопределим вероятность первой гипотезы по формуле Байеса:

В результате испытания вероятность гипотезы переопределилась с на .

Ответ:

Задача 16.

Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадает n раз. Определить вероятность того, что цифра выпадает m раз.

Решение.

Задача 17.

Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна p. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность Решение. Воспользуемся формулой наивероятнейшего числа появлений события в серии из N независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна р:

Наивероятнейшее число событий равно 7 и 8. Найдем соответствующую вероятность по формуле Бернулли:

Задача 18.

На каждый лотерейный билет с вероятностью может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью — мелкий выигрыш и с вероятностью билет может оказаться без выигрыша. Куплено n билетов. Определить вероятность получения крупных выигрышей и мелких.

Решение.

Применим формулу Бернулли для нахождения вероятности получения 3 крупных выигрышей:

Так как события: получение крупного и мелкого выигрыша несовместны, можем сложить полученные вероятности.

Задача 19.

Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна p. Поступило n вызовов. Определить вероятность m сбоев.

Решение. Здесь число n и k достаточно велики, потому воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

Если вероятность р появления события, А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рn (k) того, что событие, А появится в n испытаниях ровно k раз, приближённо равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:

где.

Определим значения переменных:

Где значения функции приведены в таблице значений Приложения 1.

Функция является четной:, поэтому.

Определяем по таблице.

Вероятность события равна.

Задача 20.

Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна p. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет следующему неравенству:

лаплас бернулли вероятность интегральный Приведем интегральную теорему Лапласа для решения этой задачи.

Теорема. Если вероятность р наступления события, А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие, А появится в n испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу.

Для интегральной функции Лапласа составлены таблицы значений.

Функция нечетна:, то есть.

Задача 21.

Дана плотность распределения p (x) случайной величины. Найти параметр, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения случайной величины, вероятность выполнения неравенства .

Решение.

Функцию плотности распределения найдем из следующего свойства: несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

Определяем.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b] называют несобственный интеграл:

Дисперсией непрерывной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата её отклонения. Формула для вычисления дисперсии:

Найдем вероятность. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от, а до b:

Ответ:

Задача 22.

Плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид. Найти ?, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения случайной величины, вероятность выполнения неравенства .

Решение.

Данное распределение есть нормальное распределение с параметрами:

В нашем случае.

Тогда.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал есть разность:

Ответ: вероятность попадания в заданный интервал равна.

Задача 33.

На отрезке [0,] случайным образом выбраны n чисел, точнее, рассматриваются n независимых случайных величин равномерно распределенных на отрезке [0,]. Найти вероятность того, что их сумма заключена между и, то есть.

Плотность распределения каждой из этих величин:

Найдем математическое ожидание по формуле:

математическое ожидание суммы независимых случайных величин есть.

Используем неравенство:

где С — число, ограничивающее дисперсию.

Задача 34.

Известно, что случайная величина имеет распределение Пуассона, неизвестным является параметр а. Используя указанный ниже метод получения точечных оценок, найти по реализации выборки значение оценки, а неизвестного параметра а.

Методом максимального правдоподобия.

Решение.

Составим функцию правдоподобия Найдем логарифмическую функцию правдоподобия:

Найдем первую производную по a.

Напишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю.

Найдем критическую точку, для чего решим полученное уравнение относительно а.

Найдем вторую производную по ?

Легко видеть, что при вторая производная отрицательна; следовательно точка максимума, и, значит, в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра, а распределения Пуассона надо принять выборочную среднюю.

Задача 35.

Известно, что случайная величина имеет биномиальное распределение.

неизвестным параметром является параметр p. Используя указанный ниже метод получения точечных оценок, найти по реализации выборки значение оценки p неизвестного параметра p методом моментов.

Решение.

Приравняем начальные теоретические и эмпирические моменты первого порядка, а также центральные и эмпирические моменты второго порядка.

Учитывая, что.

получим.

Приняв во внимание, что математическое ожидание биномиального распределения равна.

Задача 36.

Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием, а и известной дисперсией. По выборке объема n. Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения а, отвечающего заданной вероятности Р.

Интервальной оценкой (с вероятностью) математического ожидания, а нормально распределенного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал.

где t — аргумент функции Лапласа, при котором интегральная функция принимает значение.

Задача 37.

Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестными математическим ожиданием, а и дисперсией. По выборке объема n вычислены оценки.

неизвестных параметров. Найти доверительный интервал для математического ожидания а, отвечающий доверительной вероятности Р.

Решение. Запишем доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр, а с надежностью. Укажем доверительные границы:

— параметр распределения Стьюдента по заданным n и ?

Ответ: параметр, а находится в границах от до .

Задача 38.

В результате n опытов получена несмещенная оценка для дисперсии нормальной случайной величины. Найти доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности Р.

Решение. Доверительный интервал, покрывающий параметр с заданной надежностью.

где q — находим по таблице Приложения 4 (Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика»).

Задача 39.

В серии из n выстрелов по мишени наблюдалось m попаданий. Найти доверительный интервал для вероятности p попадания в мишень при доверительной вероятности P=0.95.

Решение. Найдена относительная частота появления события:

Границы доверительного интервала:

Задача 40.

В серии из n опытов события, А не наступило ни разу. Определить число опытов n, при котором верхняя доверительная граница для вероятности P (A) равна заданному числу. Доверительную вероятность принять равной 0,95.

Решение. Выражение верхней доверительной границы:

Получаем из выведенного уравнения, что:

Ответ: n=148.

Список использованных источников

• 1. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособ. — М.: Высш. шк., 2008.
• 2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва «Высшая школа», 2008.