Численное исследование динамических задач механики деформируемого твердого тела

Рассмотрим еше один обширный класс задач, моделируемых уравнениями гиперболического типа, а именно динамические задачи механики деформируемого твердого тела (МДТТ) в рамках моделей упругих и упругопластических деформаций. Численному исследованию динамических задач МДТТ посвящено большое число работ. Достаточно подробный их обзор приведен, например, в работах [254, 255]. В качестве примера укажем также работы [256−267]. В зависимости от^{конкретных} свойств среды и внешних условий нагружения в механике деформируемых тел возможны различные замкнутые модели, включающие систему уравнений (5.1.1) — (5.1.3) гл. V и определенные реологические соотношения для ее замыкания. Ниже используются широко распространенные модели линейной теории упругости и одно из ее обобщений на нелинейный случай — идеально упругопластическая модель Прандтля-Рейсса при условии пластичности Мизеса. В последнем случае рассматриваются задачи как с малыми, так и конечными деформациями.

Во многих задачах этого класса, имеющих ярко выраженный ударноволновой характер, приходится сталкиваться с расчетом распространяющихся по деформируемой среде и взаимодействующих с границами и друг с другом поверхностей разрыва, возникающих вследствие разрывного характера граничных условий (например, при импульсном нагружении элементов конструкций и т. п.). Такие разрывы в вычислительном плане аналогичны контактным разрывам в газовой динамике, и их длительный по времени сквозной расчет, как известно, существенно сложнее сквозного расчета, например, газодинамических ударных волн. В этом случае особенно остро возникает вопрос о диссипативных и дисперсионных свойствах используемых численных методов при сквозном расчете таких ''линейных" разрывов и преимущества обсуждавшихся в гл. IV гибридных разностных схем наиболее заметны.

Вторая особенность динамических задач механики деформируемого твердого тела, возникающая при их численном решении, связана с выбором независимых переменных при расчете задач со значительными деформациями. Если для малых перемещений и деформаций традиционная для этого класса задач лагранжева разностная сетка не претерпевает заметных изменений, то при больших деформациях в области интегрирования возможны сильные ее искажения — вплоть до нарушения регулярности (нулевые площади разностных ячеек, их ''выворачивание" и т. п.). Применяемые в таких случаях способы регуляризации лагранжевых разностных сеток (периодическая переинтерполяция на новую сетку и т. п.) не всегда дают ожидаемый эффект. С другой стороны, использование фиксированных в пространстве эйлеровых координат приводит к серьезным трудностям при аппроксимации граничных условий. Поэтому представляется важным сопоставление расчетов, выполненных с использованием различных типов независимых переменных, что является одной из методических целей данной главы.