Теории напряженного и деформированного состояний

Напряженное состояние в точке тела

Как мы установили ранее, напряжения, действующие в площадках, проходящих через одну и ту же точку, но в разных плоскостях, в общем случае различны. Например, при растяжении-сжатии в нормальных к оси стержня площадках действуют только нормальные напряжения (см. рис. 2.7), а в площадках, повернутых на угол 45°, действуют только касательные напряжения. Таким образом, напряжения в площадке, которые можно охарактеризовать вектором полного напряжения, зависят от ее ориентации.

Совокупность напряжений, действующих во всем множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в точке тела.

Поставим задачу следующим образом: заданы некоторая точка А в нагруженном теле и связанная с ней локальная система координат xyz с центром в данной точке. Положение проходящей через заданную точку площадки задано единичной нормалью {"}. Требуется определить вектор полного напряжения {р_н} в этой площадке.

Другими словами, перед нами стоит задача связать между собой два множества векторов. Первое множество — это векторы нормалей ко всем возможных площадкам, проходящим через заданную точку. Каждый вектор нормали определяется тремя компонентами, имеющими смысл направляющих косинусов в выбранной пользователем декартовой правосторонней системе координат xyz с центром в точке А:

Второе множество, подлежащее определению, — это векторы полного напряжения, действующие в площадках, проходящих через рассматриваемую точку Л. Компоненты векторов полных напряжений представляют собой соответствующие проекции па оси этой же системы координат:

Можно утверждать, что напряженное состояние в точке тела определено, если для любой площадки, заданной с помощью вектора нормали {/7}, определенного в некоторой субъективно выбранной системе координат, известны все компоненты вектора полного напряжения, а следовательно, и сам вектор полного напряжения {р_п}, действующий в этой площадке.

Как мы увидим далее, однозначное соответствие между двумя множествами векторов задается математической величиной [ Т_п|, называемой тензором напряжения в точке, который представляется в виде матрицы. Математически соотношение записывается в виде.

Напряженное состояние в точке является физической сущностью, которая не должна зависеть от субъективного выбора системы координат. Познакомимся со способами представления напряженного состояния в точке тела.

Рассмотрим находящееся в равновесии деформированное твердое тело (рис. 10.1, а) и изучим напряженное состояние в точке тела А. Вырежем в окрестности рассматриваемой точки А элементарный параллелепипед (рис. 10.1, б), стороны которого параллельны плоскостям координатной системы.^[1]

Рис. 10.1. Графическое представление напряженного состояние в точке А с помощью элементарного параллелепипеда Покажем действующие на гранях элемента нормальные и касательные напряжения. Нормальное напряжение на грани, направленное перпендикулярно к ней, обозначается индексом координатной оси, перпендикулярной к грани. Растягивающее нормальное напряжение считается положительным, а сжимающее — отрицательным.

Действующее на грани касательное напряжение раскладывается на две составляющие по направлениям координатных осей. Эти напряжения обозначаются двумя индексами. Для индексов касательных напряжений применим следующее правило'. Первый индекс обозначает ось, параллельно которой направлено это напряжение, а второй индекс соответствует нормали к площадке, в которой действует напряжение. Так, в площадке, нормальной к оси х_у действуют нормальное напряжение а_х и касательные напряжения t_//v и (см. рис. 10.1, в). На площадке, внешняя нормаль к которой направлена в положительном направлении, положительным считается касательное напряжение, направленное в положительном направлении соответствующей оси координат. Однако знак касательного напряжения, как выяснится в дальнейшем, особого значения не имеет. На невидимых гранях элемента действуют напряжения, направления которых противоположны напряжениям на видимых гранях.

Поскольку элемент находится в равновесии, должно выполняться равенство нулю суммы моментов всех сил относительно осей. Так, составляя уравнение моментов сил, действующих на элементарный параллелепипед, относительно оси z, получаем.

Откуда следует равенство т_ху = т_ух. Аналогично получим еще два соотношения. Полученные результаты выражают закон парности касательных напряжений:

На двух взаимно перпендикулярных элементарных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны по величине и обе направлены либо к ребру, либо от ребра.

• [1] Данная индексация соответствует правилам векторно-матричного анализа и отличаетсяот используемой в отдельных учебниках «традиционной» индексации, использующей обратную последовательность индексов.