Постановка краевых задач

Основное разрешающее уравнение (2.18) для трех рассматриваемых типов задач — плоское деформированное и плоское напряженное состояния, а также задача с центральной симметрией — представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Это уравнение должно быть дополнено граничными условиями на концах интервала изменения переменной г. Совокупность дифференциального уравнения и граничных условий и называется краевой задачей. В дальнейшем границы этого интервала обозначаются а и Ь (радиусы внутренней и внешней поверхностей цилиндра, диска или толстостенного шара). При этом возможны случаи, когда а = 0 (сплошное тело) или b —*• °о (бесконечный массив или пластинка с малым отверстием).

Наиболее просто представляются граничные условия в первой краевой задаче, когда к границам тела приложены равномерно распределенные усилия р_и и р_ь (растягивающие или сжимающие). В этом случае эти условия имеют вид.

Если же на одной или обеих границах заданы перемещения, то граничные условия записываются следующим образом:

Воспользовавшись вторым соотношением Коши (2.14) или (2.23) и выражением для деформаций е₀, из соотношений (2.17), (2.20) или (2.24) можно получить выражения для перемещений в трех рассматриваемых задачах.

Плоское деформированное состояние:

Плоское напряженное состояние:

Центральносимметричная задача:

Во всех рассматриваемых случаях имеет место двухточечная краевая задача. Далее будут рассмотрены некоторые аналитические и численные решения поставленной задачи.