Ряды фурье. 
Математика в экономике

Периодические величины и гармонический анализ

В различных приложениях науки и техники часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, повторяющимися через определенные промежутки времени. Такие явления описываются периодическими функциями.

Определение 2. Функция / (х) называется периодической на промежутке X, если существует такое наименьшее число Г, называемое периодом этой функции, что для любых х, х + Т е X выполняется равенство:

Заметим, что если Т — период функции /(а), то при х + пТ е Л', где л — целое число, также выполняется равенство типа (13.45):

Поэтому часто любое число пТ называют периодом функции /(а) в широком понимании этого термина.

Простейшими периодическими функциями являются sin, а и cos ас периодом 2л. Из простых периодических функций можно составить более сложные. Например, рассмотрим функции.

где А_п и <�х_п — постоянные величины, называемые соответственно амплитудами и сдвигом фаз. Периоды этих функций соответственно равны: любое число для постоянной величины А₀, 7, 7/2, 7/3,… Если сложить эти функции, то снова получим периодическую функцию с периодом 7, но гораздо более сложного вида, чем каждая из составляющих. Геометрически это означает, что график сложной периодической функции является результатом наложения ряда простых синусоид.

Естественно поставить обратный вопрос: можно ли данную периодическую функцию/(*) с периодом 7 представить в виде конечной или бесконечной суммы функций вида (13.46)? Оказывается, такой процесс осуществим для широкого класса функций и он называется гармоническим анализом; отдельные функции вида (13.46) называются гармоническими составляющими или просто гармониками функции /(х).