Напряжения и деформации при кручении стержней круглого сечения

Как было указано выше, при расчете на кручение стержней, имеющих круглое поперечное сечение, используется гипотеза плоских сечений. Кроме того, используются следующие допущения:

• • расстояния между поперечными сечениями не изменяются в процессе деформации;
• • радиусы поперечных сечений при деформации не искривляются.

Для определения касательных напряжений и деформаций закручиваемого стержня вырежем из него бесконечно малый элемент длиной dr (рис. 9.8, а), из которого, в свою очередь, вырежем другой элемент произвольного радиуса р (рис. 9.8, б).

Рис. 9.8.

Предположим, что разность сдвигов двух соседних сечений, расположенных на расстоянии dx, будет пп_л, тогда относительный сдвиг этих сечений будет у = пп_х / dx.

Обозначим разность углов закручивания между соседними сечениями элемента через dtp (элементарный угол закручивания на длине элемента dr). Тогда разность сдвигов пп_л = р • dtp, а выражение для относительного сдвига примет вид у = пщ/dr = pdtp/dr.

Используя закон Гука при сдвиге (9.2), получим.

где р — расстояние от любой точки поперечного сечения стержня до его оси.

Если в поперечном сечении рассмотреть любую элементарную площадку площадью cL4, удаленную от оси стержня на расстояние р, то для нее можно записать элементарную внутреннюю касательную силу, равную тс1 Л, и момент этой силы относительно оси бруса, равный dМ_к = т (L4 • р.

Тогда полный момент внутренних касательных сил будет или с учетом (9.10)

Так как интеграл J р²бЛ представляет собой полярный момент инерции л площади сечения [см. формулу (8.8)|, запишем.

откуда где vj/_K — относительный (погонный) угол закручивания стержня.

Полный угол закручивания стержня длиной /, закручиваемого внешним крутящим моментом М_к, будет равен.

или окончательно.

Произведение GI_p называется жесткостью сечения стержня при кручении.

Из формулы (9.11) следует, что угол закручивания ср прямо пропорционален крутящему моменту М_к и длине бруса I и обратно пропорционален жесткости сечения при кручении GI_p.

Угол закручивания ф измеряется в радианах. Перевод радиан в градусы выполняется по формуле.

Подставляя в (9.10) выражение (9.11), получим формулу для определения касательных напряжений:

Как видно из (9.13), касательные напряжения изменяются прямо пропорционально расстоянию р. Графически закон изменения касательных напряжений для круглого сечения представлен на рис. 9.9.

Рис. 9.9.

Наибольшие значения касательные напряжения принимают в крайних точках сечения стержня при р = р_шах = г.

где величину W_p = /_р / р_тах называют полярным моментом сопротивления сечения (или моментом сопротивления при кручении).

Величина полярного момента инерции для круга (см. прил. 5, п. 7).

тогда Из формулы (9.13) и рис. 9.9 видно, что касательные напряжения в точках сечения, близких к центру, незначительны. Это означает, что крутящий момент воспринимается главным образом той частью сечения, которая удалена от центра, а материал центральной части стержня используется мало. Поэтому с целью экономии материала и облегчения стержней нередко используют не сплошные сечения, а полые — кольцевые (рис. 9.10).

Рис. 9.10.

Величина полярного момента инерции для кольцевого сечения (см. прил. 5, н. 8).

при, а = г, / г, тогда.