Правило записи неявных разностных схем

Чтобы записать неявную разностную схему для уравнения (13.1), необходимо определиться на каком шаге по времени следует стабилизировать значение функции а (/, х). Как правило, для этого выбирают п-й шаг по времени. Во всех методах численного решения п-й шаг по времени считается известным для всех искомых функций, и, следовательно, как бы ни была задана функция а (/, х), при определении значений функции u (t, х) на (л + 1)-м шаге по времени уже будут известны численные значения а (/, х) в каждой точке (/", Xj) разностной сетки. Таким образом, неявная разностная схема для уравнения (13.1) записывается в следующем виде:

Данный подход, заключающийся в стабилизации коэффициентов, являющихся функцией времени, на последнем рассчитанном шаге, называют принципом замороженных коэффициентов.

Разностная схема (13.5) является абсолютно устойчивой и решается с помощью метода прогонки. Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:

Легко видеть, что зависимость коэффициента ст от переменных t и л: не оказывает влияния на сходимость прогонки.

В данном случае функция а (/, X, у) аппроксимирована в обеих подсхемах на шаге по времени (л + ½) для того, чтобы сохранить второй порядок аппроксимации схемы по времени.

Рассмотрим теперь двумерное дифференциальное уравнение параболического типа, в котором коэффициент, а зависит от переменных t, х и у:

Схема расщепления для уравнения (13.6) будет иметь вид:

Отметим, что согласно принципу замороженных коэффициентов функция а (/, X, у) аппроксимирована в обеих подсхемах на п-м шаге по времени.

Схема переменных направлений для уравнения (13.6) будет иметь вид:

Схема предиктор-корректор для уравнения (13.6) будет иметь вид:

Согласно принципу замороженных коэффициентов функция, J>) аппроксимирована в первой и второй подсхемах на л-м шаге по времени; вся правая часть третьей подсхемы (корректора) аппроксимирована на шаге по времени (л + ½) для достижения второго порядка аппроксимации схемы по времени.