Доверительные интервалы для воздействий фактора

После того как с помощью F-отношения сделан вывод о необходимости отклонения нулевой гипотезы Н₀: И = т₂ = … = = О и, соответственно, о значимости различий между способами обработки (уровнями фактора), имеет смысл проанализировать эти отличия более детально. С этой целью оцениваются воздействия фактора на каждом j-м уровне a_tj — ц + и вычисляются их доверительные границы. Точечные оценки позволяют указать наиболее эффективный способ обработки, а доверительные интервалы — определить те пары способов обработки (уровни факторов), между которыми имеются значимые различия.

Точечными оценками воздействий a_t являются внутригрупповые средние у." которые имеют нормальное распределение.

Отношение подчиняется распределению Стью;

дента с К (т — 1) степенями свободы.

Тогда доверительный интервал для а_; при уровне значимости а имеет вид.

где tj__a — квантиль уровня 1 — а распределения Стьюдента.

Если доверительные интервалы для всех а_; не пересекаются, можно ранжировать способы обработки по степени их влияния на размеры деталей Y.

Пример 8.1.

Пусть исследуется четыре партии сырья для текстильной промышленности на величину разрывной нагрузки. Из первой партии было отобрано 20 образцов, из второй — 30, из третьей — 25 и из четвертой — 15.

Выясним, существенно ли влияние различных партий сырья (уровней фактора А) на величину разрывной нагрузки (откликау), т. е. проверим гипотезу Н₀: а_г= а₂ = а₃ = а₄. Если влияние есть, то выделим партии с близкой прочностью сырья.

Решение. Данный однофакторный план является несбалансированным, так как числа образцов на каждом уровне фактора А не равны друг другу.

Поскольку распределение значений отклика неизвестно, то начать проверку нулевой гипотезы об однородности партий сырья можно с рангового однофакторного анализа Краскела — Уоллиса (соответствующая статистика в книге не рассматривается).

В табл. 8.3 для каждой партии сырья приведены значения средних рангов. Они существенно различаются. Поскольку вычисленный уровень значимости а_выч = 6,64 • 10^-13 ранговой статистики Краскела — Уоллиса мал, то гипотеза об однородности партий сырья должна быть отвергнута.

Базовая таблица рангового однофакторного анализа.

Таблица 8.3

Статистика Краскела — Уоллиса = 59,7533, а_выч = 6,63 691 • 1СН³.

Базовая таблица однофакторного ДА (табл. 8.4) содержит следующую информацию. Представлены различные источники вариации: между группами и внутри групп, а также общее (скорректированное) значение. В первой строке приведены характеристики, связанные с действием анализируемого фактора: сумма квадратов Q_{M, число степеней свободы К — 1, средний квадрат S^1W а также F-отношение и его вычисленный уровень значимости авыч. Во второй строке выводятся характеристики остаточного рассеяния: Q0CT, 20 + 30 + 25 + 15 — К и SqCT. В третьей строке — значения Q и его число степеней свободы.}

Таблица 8.4

Базовая таблица однофакторного анализа.

При уровне значимости а_ВЬ|Ч = 0,000 нулевая гипотеза об отсутствии влияния различных партий сырья должна быть отвергнута.

Продолжим анализ для получения оценок воздействия фактора а, и построения для них доверительных интервалов. Результаты анализа представлены в таблице средних (табл. 8.5).

Таблица 8.5

Таблица средних однофакторного анализа.

В табл. 8.5 для каждой партии сырья (уровня фактора А) приведено число наблюдений отклика т_;; среднее значение y.j, являющееся оценкой воздействия фактора а_} на j-м уровне. Величина у равна 177,37. Собственно оценки эффектов обработки можно вычислить как y.j — у. В столбце 4 приведены стандартные ошибки отклика по группе наблюдений на каждом уровне , в столбце 5 — 95%-ные доверительные интервалы для средних, т. е. границы интервальных оценок для а_г

Наглядное представление об оценках воздействий фактора и их доверительных интервалах можно получить с помощью графика средних (рис. 8.1).

Рис. 8.1. График средних значений y.j¹ (скриншот Statgraphics).

Различие между 1-й и 4-й партиями сырья в наибольшей степени влияет на величину разрывной нагрузки.

В среднем схожими являются 2-я и 3-я партии сырья, в столбце 4 им соответствует вертикальный ряд звездочек (табл. 8.6).

¹ Этот и другие графики в данном пособии созданы в пакете Statgraphics. По оси X указаны уровни переменных, по оси Y показаны имена переменных, сверху надпись: 95%-ные доверительные интервалы для анализируемого фактора.

Таблица 8.6

Результаты сравнения средних значений y.j

По критериям Кокрена и Бартлета (в книге не рассматриваются) можно проверить гипотезу об однородности дисперсий разрывной нагрузки для 2-й и 3-й партий сырья с целью выявления применимости ДА к интерпретации окончательных результатов. Вычисления дают:

• • критерий Кокрена — 0,266 261; а_выч = 1;
• • критерий Бартлета — 1,205; а_выч = 0,981 892.

Вычисленные уровни значимости а_выч критериев свидетельствуют о справедливости гипотезы.

При необходимости проверки статистического предположения о нормальности остатков можно выполнить глазомерную проверку нормальности или применить критерии согласия.