Определение множества натуральных чисел

Линейно упорядоченное бесконечное множество N назовем множеством натуральных чисел, если каждое его подмножество А_п ={х: х < я, x, n е N} является конечным множеством. Наименьший элемент множества N будем называть нулем и обозначим символом 0. Таким образом,

Все последующие натуральные числа определим по индукции:

Индуктивное определение множества N составляет основу метода математической индукции'.

если некоторое высказывание f{k), k gTV,.

• 1) истинно для к = п₀, т. е. /(п₀)~И;
• 2) из J{n)~M следует /(n +1) для п> п₀, то /к > п₀ /(к) ~И.

В школьном курсе математики этим методом, например, доказано неравенство Бернулли:

Упражнение 3.9. Рассмотрев предварительно три частных случая: а = -1, а = -2 и -2<�а<1 для п = 2к, доказать неравенство Бернулли для — 2 < а < -1.

Академик А. Н. Колмогоров о значении множества натуральных чисел сказал следующее: «Математикам, по существу, нужен один натуральный ряд чисел, который может обслуживать все их нужды. Свойства этого натурального ряда, существенные для математиков, полностью описываются аксиомами Пеано …» (см. [38, с. 246]).

Аксиомы Пеано множества N натуральных чисел можно записать так:

I. leN.

II .а е /V => я' =а + 1 е N.

III. а'=Ь'^>а = Ь, a s N.

IV. а е N=>a'* 1.

V. (А ()&А (Ь) => А (Ь'))=>А (а), а е N.

Последнюю аксиому называют аксиомой математической индукции или аксиомой бесконечности (потенциальной) множества N натуральных чисел.

Мощность и бесконечность множеств

Биективные отображения (биекции) разбивают множество U на классы эквивалентных множеств, а именно: множества, А и В называются эквивалентными, если существует биекция Р: А В, при этом пишут.

А ~ В и говорят, что множество А эквивалентно множеству В или что множества А и В биективны. Покажем, что отношение биективное™ множеств (а) рефлексивно, (б) симметрично и (в) транзитивно. Действительно, (а): существует тождественное отображение 1:А—>А, являющееся биекцией, (б): для каждой биекции f:A->B существует биекция /^_|: В —> А, (в): для биекций /: А—> В и А: В —> С существует биекция Ао/_: А->С.

Очевидно, что среди конечных множеств F_k, АеА, класс эквивалентности {F,} образуют множества с равным количеством (числом) п элементов, где, конечно, п eN.

Понятие биективное™ множеств положено в определение, по Дедекинду, бесконечного множества: множество М называется бесконечным, если оно эквивалентно своему собственному подмножеству.

Например, формула к{п) = 2п определяет (по Дедекинду) биекцию между множеством N= {1,2, …} натуральных чисел и его собственным подмножеством Е = {2, 4, …, 2/7,…} четных чисел (Е * N). Очевидно, что любое конечное множество F таким свойством не обладает. Новейшие результаты автора (см. [103], [104], [107], [111], п. 3.7.7 и Главу 6) этой части пособия вызывают сомнения в корректности содержания этого абзаца.

Эквивалентность бесконечных множеств является инструментом градуировки бесконечных множеств по мощности, которая обобщает на бесконечные множества понятие количества элементов конечного множества. Множества А и В называются равномощными или считаются имеющими одинаковую, равную мощность если А и В эквивалентны, при этом пишут | А |=| В |. Естественно, для конечных множеств Р и Q равномощность означает равенство количеств их элементов.

Существование неэквивалентных, не равномощных бесконечных множеств гарантирует следующее ниже утверждение.

Теорема 3.6. Не существует биекции между множеством, А и множеством Р (А) всех подмножеств множества А.

• Пусть /: А —> Р (Л) — любая функция. Покажем, что /(а)с: Р (А), т. е. ДА) Ф Р (А) =>| А И Р (А) |.

Очевидно, что VaeA f (a)eP (A), т. е. f (a) — некоторое подмножество в А, и потому либо а е /(а), либо а е /(а).

Обозначим через В множество {х: хе /(*), хе А}, В, а А и потому ВеР (А), но Be ДА).

Действительно, если ае f (a), то а е В и поэтому Вф f (a), если Ье /(S), то b е В и потому Вф f (b), из чего следует Be f (A).

Итак, функция /: А —" Р (Д) не является биекцией. ?

Множества, равномощные множеству N натуральных чисел, называют счетными и пишут N = со = К₀ (алеф-нуль). Мощность множества чисел единичного отрезка [0,1] <^R называют континуумом и пишут |[0, 1]|=с = К, (алеф-один).

Поскольку N a R и, как легко доказать, что | N ф R |, то пишут | W |-<| Я |, т. е. о <�с.

Детали любознательный читатель найдет в книгах [1], [3], [4], [22], [29], [54], [62], [83] и др., а также в [101], [103], [104].