Переменные по координатам физические свойства среды

Точные аналитические решения задач теплопроводности с переменными по координатам физическими свойствами среды в настоящее время удалось получить лишь для весьма ограниченного круга краевых задач [49,83]. В частности, были получены аналитические решения задач для случаев, когда коэффициент теплопроводности является степенной или экспоненциальной функцией координат. Совместное применение методов Канторовича и ортогонального метода Бубнова —Галеркина позволяет найти приближенные аналитические решения при любых заданных законах изменения X, с, р в зависимости от координаты текущей точки.

Рассмотрим задачу теплопроводности для неограниченной пластины при экспоненциальной зависимости коэффициента теплопроводности от координаты текущей точки, т. е.

где т — некоторый коэффициент.

Из формулы (6.51) следует, что теплопроводность пластины при фиксированном значении величины т с увеличением координаты х уменьшается.

Математическая постановка задачи теплопроводности при граничных условиях первого рода и при отсутствии внутренних источников тепла (су (.г, Fo) = 0) в безразмерном виде будет иметь вид.

где обозначения аналогичны принятым в параграфе 6.1.

Решение краевой задачи (6.52)—(6.55), следуя методу Канторовича, разыскивается в виде где

Найдем решение задачи (6.52)—(6.55) в нулевом 1461 приближении. Составляя интеграл взвешенной невязки уравнения (6.52), получим уравнение.

Определяя интегралы в (6.58), относительно неизвестной функции времени f (Fo) приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Разделяя переменные и интегрируя, находим.

где С — постоянная интегрирования.

Подставляя (6.59) в (6.56), получим.

Для определения постоянной интегрирования составим интеграл взвешенной невязки начального условия.

Определяя интеграл, находим С = 1,5. С учетом найденного значения постоянной интегрирования соотношение (6.60) примет вид.

В первом приближении в соотношениях (6.58) и (6.61) следует потребовать ортогональность невязки уравнения (6.52) и начального условия (6.53) к координатной функции первого приближения cpi (x) = 1 — х². Решение задачи (6.52)—(6.55) в первом приближении имеет вид.

Для получения решения в любом последующем приближении составляется невязка уравнения (6.52) и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям:

Определяя интегралы в (6.64), относительно неизвестных функций времени fk (Fo) приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида (6.10). Последовательность дальнейшего решения задачи аналогична решениям задач параграфов 6.1, 6.2.

На графиках рис. 6.18 представлены результаты расчетов безразмерной температуры по формуле (6.56) во втором приближении в сравнении с точ;

Рис. 6.18. Графики распределения относительной избыточной температуры:

—расчет по формуле (6.56) (второе приближение); о — точное решение [49].

ным решением [49]. Собственные числа для т = 0, т = 0,2 и т = 0,5 представлены в табл. 6.5.