Поиск оптимальной стратегии

Применим рассмотренные выше критерии для выбора оптимальной стратегии предприятия.

1. Критерий Байеса относительно выигрышей.

Проанализируем вероятности, с которыми природа П принимает свои состояния, и перепишем игровую матрицу А, добавив для удобства вычислений строку вероятностей состояния природы и столбец Е эффективности стратегий игрока, А (столбец средних выигрышей):

обозначив ее А1.

Согласно критерию Байеса относительно выигрышей оптимальной считается стратегия с наибольшим показателем эффективности. Для данной матрицы это стратегия А, с показателем эффективности 10,8.

2. Критерий Байеса относительно рисков.

Применим данный критерий для определения оптимальной стратегии предприятия.

При П1 показатель благоприятности К1 = 21, следовательно, а11 = 21 — 21 = 0; а21 = 21 — 17 = 4, а31 = 21 — 13 = 8.

При П2 показатель благоприятности К2 = 16, следовательно, а12 = 0; а22 = 16 — 15 = 1; а32 = 16 — 11 = 4.

Аналогичным образом найдем значения остальных ячеек матрицы рисков А1 при состояниях природы П3 (К3 = 12), П4 (К4= 11), П5 (К5 = 8), П6 (К6 = 5).

Далее дополним матрицу А1 столбцом показателей неэффективности стратегий предприятия:

Согласно критерию Байеса относительно рисков оптимальной стратегией является стратегия с наименьшим показателем неэффективности, для данной матрицы это стратегия А3.

3. Критерий Лапласа относительно выигрышей.

Данный критерий аналогичен критерию Байеса относительно выигрышей. Отличие состоит в том, что в нем мы допускаем возможность неизвестности вероятностей состояний природы. Предполагая, что руководство компании не может достоверно определить вероятности наступления событий, все состояния природы считаются равновероятными.

Итак, перепишем матрицу выигрышей, добавив столбец показателей эффективности стратегий:

Согласно критерию Лапласа относительно выигрышей, оптимальной считается стратегия с наибольшим показателем эффективности. Для данной матрицы это стратегия А, с показателем эффективности 11,5.

4. Критерий Лапласа относительно рисков.

Составим для матрицы выигрышей матрицу рисков и дополним полученную матрицу столбцом показателей неэффективности стратегии, рассчитанных по формуле Лапласа.

Оптимальной стратегией по критерию Лапласа относительно рисков так же является стратегия А, с наименьшим значением показателя неэффективности 0,7.

5. Критерий относительных значений вероятностных состояний природы с учетом выигрышей.

В ситуации риска не всегда возможно определить вероятность наступления каждого из состояний. Тем не менее часто можно сказать, какое состояние более вероятно, чем другие.

В данной задаче следует условно проранжировать состояния природы по убыванию вероятности их наступления следующим образом: П4, П5, П3, П2, Пе, П,.

Так как возможных состояний природы всего шесть, то.

Следовательно,.

Добавим в матрицу, А строку вероятностей и столбец эффективности.

Согласно данному критерию оптимальной считается стратегия с наибольшим показателем эффективности. Для данной матрицы это стратегия А1 с показателем эффективности 15,08.

6. Критерий относительных значений вероятностных состояний природы с учетом рисков.

Используя полученные при анализе матрицы в рамках предыдущего критерия вероятности, дополним матрицу рисков А1 столбцом показателей неэффективности стратегий и выберем стратегию с наименьшим показателем Rcpi.

Согласно данному критерию оптимальной считается стратегия с наименьшим показателем неэффективности. Для данной матрицы это стратегия А1 с показателем неэффективности 0,52.

7. Критерий Вальда, или критерий крайнего пессимизма относительно выигрышей.

Этот критерий также называют максиминным. Он считает оптимальной ту стратегию, при выборе которой минимальный выигрыш больше минимальных выигрышей при других стратегиях.

Минимальный выигрыш при стратегии А1 = 1, А2 = 5, А3 = 0.

Таким образом, согласно данному критерию оптимальной является стратегия А2.

8. Максимаксный критерий, или критерий крайнего оптимизма относительно выигрышей.

Согласно критерию крайнего оптимизма оптимальной является та стратегия, при которой максимальный выигрыш больше максимальных выигрышей при других стратегиях. Максимальный выигрыш при стратегии A1 = 21, А2 = 17, А3 = 13.

Таким образом, согласно данному критерию оптимальной является стратегия A1.

9. Критерий Сэвиджа, или критерий крайнего пессимизма относительно рисков.

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Сэвиджа считается та чистая стратегия, максимальный риск при выборе которой является минимальным среди максимальных рисков всех чистых стратегий. Поэтому оптимальная стратегия по критерию Сэвиджа гарантирует игроку, А при любых состояниях природы риск не бо? льший, чем минимакс.

Максимальные риски при выборе стратегий А, и А2 равны, следовательно, для данной задачи критерий Сэвиджа неприменим.

10. Миниминный критерий, или критерий крайнего оптимизма относительно рисков.

В соответствии с данным критерием, оптимальной считается стратегия А;, хотя бы один из рисков которой равен 0. В рассматриваемой задаче данному требованию отвечают как стратегия А (, так и стратегия А2. Следовательно, данный критерий в этом случае неприменим.

11. Обобщенный критерий пессимизма — оптимизма Гурвица относительно выигрышей с коэффициентами р1, …, рп.

Переставим выигрыши аi1, аi2,…, аin при каждой стратегии Аi, расположив их в неубывающем порядке, и обозначим элементы полученной матрицы через bij, а саму матрицу — через В.

Теперь необходимо определить эффективности трех стратегий предприятия. Для этого нужно классифицировать ситуацию как опасную или безопасную.

В безопасной ситуации коэффициенты р1, р2, …, р6 определяются по принципу «неубывания средних выигрышей», тогда соответственно.

Тогда.

Следовательно, согласно критерию Гурвица для безопасной ситуации, оптимальной является стратегия А,.

В опасной ситуации, коэффициенты р1, р2, …, p6 находятся по принципу «невозрастания средних выигрышей» :

Тогда

Таким образом, согласно критерию Гурвица для опасной ситуации оптимальной является стратегия А2.

12. Обобщенный критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относительно рисков с козффициентами р1, …, рп.

Переставим риски в каждой строке матрицы рисков А1, так, чтобы они стояли в невозрастающем порядке. Назовем полученную матрицу В1, выигрыши аi1, аi2, …, аin при каждой стратегии Аi, расположив их в неубывающем порядке, и обозначим элементы полученной матрицы через bij.

Аналогично анализу в рамках предыдущего критерия необходимо определение опасности ситуации.

Для безопасной ситуации применим следующие формулы:

Наименьшее значение функция Р принимает при стратегии А1, она является оптимальной для безопасной ситуации.

В опасной ситуации, коэффициенты р1, р2,…, р6 вычисляются по следующим формулам:

Наименьшее значение функция Р принимает при стратегии А1, она является оптимальной для опасной ситуации.

Таким образом, при применении различных критериев получаются разные результаты. Разные стратегии могут оказываться оптимальными в зависимости от выбранной модели анализа.

Существует несколько способов получения итогового результата. Можно отказаться от некоторых критериев, определившись с вопросом, относится ли наша задача к ситуации риска или ситуации неопределенности. Оставшимся критериям можно присвоить вес, посчитать средневзвешенное количество случаев оптимальности каждой стратегии.

Есть более простой и менее точный вариант анализа, когда оптимальной считается та стратегия, которая была признана оптимальной большим числом критериев.

Поскольку данная задача носит характер учебно-исследовательской и информации для элиминирования критериев и присваивания им веса недостаточно, прибегнем ко второму способу.

Для получения окончательного результата сведем полученные при применении всех критериев результаты в единую таблицу (табл. 2.30).

Таблица 2.30

Оптимальная стратегия для различных критериев

Таким образом, в качестве оптимальной выбирается стратегия A1.

Пример

Компания «Российские сыры» — небольшой производитель различных продуктов из сыра на экспорт. Один из продуктов — сырная паста — поставляется в страны СНГ. Генеральный директор должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течение месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пасту в течение месяца будет 6, 7, 8 или 9 ящиков, равны соответственно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1.

Затраты на производство одного ящика равны 45 долл. Компания продает каждый ящик по цене 95 долл. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца, то она портится и компания не получает дохода. Сколько ящиков следует производить в течение месяца?

Решение. Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (компания «Российские сыры») являются различные показатели числа ящиков с сырной пастой, которые ему, возможно, следует производить. Состояниями природы выступают величины спроса на аналогичное число ящиков.

Вычислим, например, показатель прибыли, которую получит производитель, если он произведет 8 ящиков, а спрос будет только на 7.

Каждый ящик продается по 95 долл. Компания продала 7, а произвела 8 ящиков. Следовательно, выручка будет 7? 95, а издержки производства 8 ящиков 8? 45. Итого прибыль от указанного сочетания спроса и предложения будет равна 7? 95 — 8? 45 = 305 долл. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях спроса и предложения.

В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой (табл. 2.31).

Таблица 2.31

Платежная матрица

* В скобках приведена вероятность спроса на ящики.

На практике в подобных случаях решения чаще всего принимаются исходя из критерия максимизации средней ожидаемой прибыли или минимизации ожидаемых издержек. Следуя такому подходу, можно остановиться па рекомендации производить 8 ящиков, и для большинства лиц, принимающих решения, рекомендация была бы обоснованной.

Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднего квадратичного отклонения как индекса риска, мы можем уточнить принятое на основе максимума прибыли решение (табл. 2.32).

Таблица 2.32

Расчет среднего квадратичного отклонения

* Расчеты предлагается проверить студентам.

Из представленных результатов расчетов с учетом полученных показателей рисков — средних квадратичных отклонений — очевидно, что производить 9 ящиков при любых обстоятельствах нецелесообразно, ибо средняя ожидаемая прибыль, равная 317, меньше, чем для 8 ящиков (352,5), а среднее квадратичное отклонение (76) для 9 ящиков больше аналогичного показателя для 8 ящиков (63,73). А вот целесообразно ли производство 8 ящиков по сравнению с 7 или 6 — неочевидно, так как риск при производстве 8 ящиков (63,73) больше, чем при производстве 7 ящиков (28,5) и тем более 6 ящиков (0). Решение должен принимать генеральный директор компании «Русские сыры» с учетом его опыта, склонности к риску и степени достоверности показателей вероятностей спроса: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1.