Сложное движение материальной точки. 
Лемма о производной ортогонального оператора. 
Теорема сложения скоростей

Иногда целесообразно рассматривать движение точки относительно подвижной системы координат. В этом случае говорят о сложном движении материальной точки, имея в виду, что движение точки относительно неподвижной системы координат S задается посредством движения подвижного репера 5, и движения точки относительно подвижного репера 5,. Говорят, что система координат СХ|Х₂х₃ (репер 5,) движется относительно неподвижной системы координат 01,|^₂4з, ^если точка С перемещается в системе координат S и изменяется ориентация осей подвижного репера 5, относительно неподвижного репера S. В соответствии с рис. 1.

Здесь Г = I у у || — оператор перехода от системы координат Сх, х₂х₃ к системе 0^₂^₃. Оператор Г принадлежит группе вращений трехмерного пространства 50(3) и зависит от времени. Большими буквами обозначены векторы в неподвижной системе координат О;,^з> ^а маленькими — в подвижной системе Сх₁х₂х₃. Абсолютная скорость точки М (скорость относительно неподвижной системы S)

получена путем дифференцирования равенства (3.1).

Л. Оператор, А = Г" ¹ Г кососимметричен (А =-А') и эквивалентен операции векторного умножения, а именно, Лгэюхг, Vre ?^[1].

? Заметим, что операция транспонирования ортогонального оператора приводит к обратному оператору Г' = Г*. Продифференцируем равенство Г^Г = Е и получим (Г^-1)Т + Г^_|Г = 0. Далее, (Г" ¹)Т = (Г')Т = (Г)Т = (ГТ)' = А' и предыдущее равенство можно переписать в виде А' + А = 0, что и доказывает кососимметричность оператора А. Т.

Оператор А в системе координат 5, зададим матрицей.

Рис. 1 Рис. 2.

Обозначим V, = V_c+ Г[а>, г], У_г=Гг. Величины V, У_г называются соответственно переносной и относительной скоростью точки М. Справедлива теорема сложения скоростей: абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей

Равенство (3.3) записано в системе координат Его можно переписать в подвижной системе Сх, х₂х₃, если умножить на оператор перехода Г^-1 в виде.

Относительная скорость _г есть скорость движения точки относительно подвижной системы координат 5, а переносная скорость _е равна абсолютной скорости точки Л/, принадлежащей реперу S_x и совпадающей в данный момент времени с точкой Л/.

EL Пусть две палочки Ох_х и О_ху₂ движутся в плоскости 0?,?₂, имея точки О и О_х неподвижными. В точке пересечения палочек находится кольцо М (рис. 2). Требуется найти абсолютную скорость кольца Л/, если известны законы изменения углов <�р, и <�р₂, которые образуют палочки с неподвижной осью 0?,.

Введем два подвижных репера S_x, S₂ и согласно теореме сложения скоростей запишем.

v_fl = v₍₁₊v_rl=v_t2+v,₂.

Здесь индекс 1 относится к системе координат Ох_хх₂х:₃ (репер 5,), а индекс 2 — к системе координат О_ху_ху-уу₃ (репер S₂). Поскольку начала реперов S_x и S₂ неподвижны, то.

Вектор г, = ОЛ/, г₂ = О, Л/. Несложные вычисления приводят к равенствам

где е₃ — орт оси 0?₃. Следует только помнить, что при дифференцировании оператора, представленного в матричном виде, вычисляются производные всех элементов соответствующей матрицы. Полученные выражения для переносных скоростей позволяют их найти как по величине, так и по направлению (см. рис. 2). Очевидно, что относительные скорости V_r, =Г, г, У_г2=Г₂г₂ направлены по палочкам Ох, и O_ty₂ соответственно. Это обстоятельство позволяет в свою очередь построить геометрический вектор абсолютной скорости кольца М (прямые а, и а₂ параллельны осям Ох, и 0_ху₂). Стороны параллелограмма MK_tNK₂, диагональ которого MNесть абсолютная скорость кольца М, равны | | = | V_fl | sin''a,.

| МК₂1 = |V_e21 sirT*a, гдеа = л/2 + ф₂-ф|,|У,|| = |0Л/|ф₁,|У,₂| = |0_|Л/|ф₂. Тогда по теореме косинусов из треугольника Л/yVATj получим.

• [1] и определим вектор со = ?ш*е*, где е* — орт по оси Схк. Тогда *-i непосредственно проверяется равенство Ат * <�о х г для любого г е Е. Вектор а> — собственный вектор оператора, А с нулевым собственным значением — называется угловой скоростью вращения системыкоординат 5, относительно S. Формула (3.2) представляется в виде