Методы смягчения проблем гетероскедастичности. 
Обобщенный (взвешенный) метод наименьших квадратов

При построении множественной регрессии в МНК минимизируется сумма квадратов отклонений

и при этом предполагается, что каждое конкретное значение ef в данной сумме имеет одинаковый «вес». Но если конкретное значение случайного отклонения получено со своей дисперсией (т. е. имеет место гетероскедастичность), то в каждой точке измерения коридор ошибок не может быть определен однозначно. Точка, полученная из распределения с меньшей дисперсией, более точно определяет направление линии регрессии. Поэтому она должна иметь больший «вес», чем точка из распределения с большей дисперсией. Следовательно, методы оценивания, учитывающие «веса» точек наблюдений, позволяют получать более точные (эффективные) оценки. Учет «весов» точек и составляет суть обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК), называемого также методом взвешенных наименьших квадратов.

Обнаружение гетероскедастичности, как мы уже видели, в каждом конкретном случае является довольно сложной задачей, т. к. для знания дисперсий отклонений О²(e_t) необходимо знать распределение У, соответствующее выбранному значению X/ случайной величины X. На практике стремятся, изучив вариативность факторов, обеспечить применение МНК либо путем перехода к единой (сводной) дисперсии, либо за счет искусственных преобразований.

Дисперсии результатов измерений в отдельных точках для парной регрессии, а в некоторых случаях и факторов множественной регрессии (точнее, их вклад в общую дисперсию результирующего показателя) на однородность проверяют по критерию Кохрана, рассчитывая экспериментальную величину.

где - максимальная из т сравниваемых выборочных дисперсий с (л-1) степенью свободы каждая;

sf, / * 1, 2,., m — дисперсии в точках измерения (дисперсии факторов, входящих в регрессионную модель);

т — число точек измерения (факторов).

Функция распределения случайной величины G зависит только от числа степеней свободы (п-1)иш. Если.

где Р — уровень значимости критерия Кохрана, то гипотеза однородности дисперсии принимается и по данной предпосылке использование МНК допустимо.

Таблица критических значений функции G приведена в Приложении 5.

Если применением критерия Кохрана (при равном числе измерений в каждой точке) или аналогичного ему по построению критерия Бартлетта (при различном числе измерений) однородность дисперсии доказана, то среднее арифметическое (среднее взвешенное во втором случае) выборочных дисперсий в точках измерения можно использовать как оценку для дисперсии случайной компоненты и, в частности, отождествлять с величиной sj при расчетах стандартных ошибок коэффициентов линейной парной регрессии и коридора ошибок ее прогноза.

Другой подход обобщенного метода наименьших квадратов используется при известных для каждого наблюдения значениях дисперсии af. Неоднородность дисперсий (гетероскедастичность) тогда можно устранить, разделив каждое наблюдаемое значение на соответствующее ему значение среднеквадратического отклонения. В этом и состоит суть «взвешивания» случайной ошибки в обобщенном методе наименьших квадратов.

Проиллюстрируем это на теоретическом уравнении парной регрессии вида.

Для этого разделим обе части (99) на известное a_/ = ^/of:

ГН У/ • X: е, 1.

Положив теперь — = у,; — = х,; — = V' — = z, получим уравнение рега, а, а, а, рессии без свободного члена, но с дополнительной объясняющей переменной Z и с «преобразованным» отклонением v;

Покажем, что для остатков v, выполняется условие гомоскедастичности. Действительно, tf (v,)= М (у,-M (v,))² = Но по первой предпосылке метода наименьших квадратов М (е,) = 0, и тогда.

Следовательно, для преобразованной модели (100) будут выполняться предпосылки Гаусса-Маркова, и оценки, полученные по МНК, будут наилучшими линейными несмещенными оценками.

Таким образом, при известной дисперсии случайных отклонений обобщенный метод наименьших квадратов сводится к следующему.

• 1. Значения каждой пары наблюдений (х, у₍) делят на известную величину о,. Тем самым наблюдениям с наименьшими дисперсиями придаются наибольшие «веса», а с максимальными дисперсиями — наименьшие «веса» и наблюдения с меньшими дисперсиями отклонений будут более значимыми при оценке коэффициентов регрессии, чем наблюдения с большими дисперсиями. Это увеличивает вероятность получения более точных оценок.
• 2. Используя традиционный МНК, для преобразованных значений

[—, —строят уравнение регрессии без свободного члена с гарантированным качеством оценок для коэффициентов регрессии.

На практике в качестве о, используют их выборочные оценки s" получаемые по данным наблюдений.

Для статистических экономических данных разброс, а значит и среднеквадратическое отклонение $/, достаточно часто оказываются пропорциональными значениям объясняющей переменной х/. Тогда гетероскедастичность устраняют путем деления уравнения линейной теоретической регрессии на объясняющую переменную, т. е. по методу наименьших квадратов ищут коэффициенты в модели.

Применение таких подходов позволяет получать более надежные оценки коэффициентов регрессии в условиях наличия гетероскедастичности.