Символическая запись предложений

Рассмотрим основные типы предложений, встречающиеся в математических рассуждениях, и укажем их символическую запись.

Пусть А (х) и В (х) — произвольные предложения, зависящие от переменной, т, при этом не исключается, что эти предложения могут содержать другие переменные.

Обозначим буквой Р формулу, задающую логическое строение предложения: «Для любого х, такого, что А (х), выполняется В (х)».

Данное предложение можно переформулировать следующим образом: «Для любого х если верно А (х), то верно #(*)». Поэтому формула Р имеет вид:

Примеры предложений, логическая структура которых совпадает с Р:

• 1) «Любое число, являющееся натуральным, больше 0» = и.
• 2) «Любое число, большее 0, является натуральным» = л.
• 3) «Любой треугольник, одна из медиан которого совпадает с высотой, является равнобедренным» = и.
• 4) «Любые два числа, произведение которых положительно, имеют одинаковые знаки» = и.

Например, предложение «Любое число, большее 0, является натуральным», символически может быть записано гак:

Условие импликации часто записывают сразу после квантора. Поэтому встречаются следующие варианты записи:

Обозначим буквой Q формулу, задающую логическое строение предложения: «Существует х, такой, что А (х), для которого В (х)».

Данное предложение можно переформулировать следующим образом: «Существует х, для которого верно А (л) и при этом верно В (.х)». Поэтому формула Р имеет вид:

Примеры предложений, логическая структура которых совпадает с Q:

• 1) «Существует отрицательное число, большее единицы» = л.
• 2) «Существует дифференцируемая на всей числовой прямой функция f отличная от константы, для которой выполняется равенство/² = f» = л.
• 3) «Существует параллелограмм, имеющий две неравные стороны, около которого можно описать окружность» = и.
• 4) «Существуют два числа, имеющие разные знаки, сумма которых больше их произведения» = и.

В формуле Р знак конъюнкции нельзя заменить на импликацию, иначе получится формула, имеющая совсем другой логический смысл. Для примера обозначим А (х) = (х< 0), В (х) = (х>). Предложение «Существует отрицательное число, большее единицы» ложно, так как любое отрицательное число меньше 0, значит, меньше 1. Однако формула Зх (дл>1) обозначает истинное высказывание, так как существует значение х, например, равное 2, при котором импликация истинна (посылка 2<0 ложна).

В общем случае формулу V"v (А (х)->В (х)) кратко можно записывать как /х_А{х)В (х:), а формулу Зх {А{х)аВ{х)) — как Зх^В (х). Кванторы, записанные в выражениях Vx_AMB (x) и Зл^,*) В (х), называют ограниченными. Множество всех значений переменной х, для которых выполняется А{х), можно понимать как область допустимых значений.

На языке ограниченных кванторов запишем предложение: «Ни для одного лг, такого, что Л (л:), не выполняется #(*)». Это предложение может быть сформулировано следующим образом: «Для любого х, если А (х то неверно, что #(.т)». Поэтому данное предложение имеет такую структуру: Vjc (i4(jr)->" l&(x)) или, кратко, Пример 2.2.1. «Ни один прямоугольник не является трапецией». Здесь А (х) = «Четырехугольник х сеть прямоугольник», Z?(.v) = «Четырехугольник л: есть трапеция». •.

Ограничение А (х) может иметь сложный вид и представлять собой, например, конъюнкцию утверждений. Тогда ограничения перечисляются через запятую, а квантор вместе с указанными ограничениями заключается в скобки, что улучшает восприятие формулы.

Рассмотрим примеры предложений, в которых одновременно встречаются оба вида ограниченных кванторов.

Пример 2.2.2. «Найдется такое положительное рациональное число а, что все положительные числа, меньшие а, будут иррациональными».

Используя ограниченные кванторы, данное предложение можно записать следующим образом:

Здесь Q обозначает множество всех рациональных чисел, а I — множество всех иррациональных чисел.

Скобки в формуле можно опустить, однако, как уже было сказано, они в определенной мере улучшают восприятие данной формулы.

Расписав ограниченные кванторы, получим следующую формулу:

Пример 2.2.3. «При любом положительном числе е существует такое положительное число с, что при всех .г, по модулю больших с, значение ' ^ будет меньше 8».

Символическая запись предложения имеет вид:

Математический смысл предложения гаков: предел функции у = —,.

х

когда л^- стремится к бесконечности, равен 0. •.