Механические гармонические колебания

Механические колебания — колебания, характеризующиеся изменением только механических величин (смещение, скорость, ускорение и т. п.).

При механических колебаниях периодически изменяется какая-нибудь физическая величина. Например: смещение, скорость или ускорение тела.

Смещение — значение колеблющейся величины х, характеризующее положение колеблющейся точки в данный момент времени относительно положения равновесия. Смещение х равно расстоянию от положения колеблющейся точки в данный момент времени до положения устойчивого равновесия.

Гармонические колебания материальной точки описываются уравнениями:

где х — смещение точки от положения равновесия; А — амплитуда колебаний (максимальное значение колеблющейся величины); со₀ — круговая (циклическая) частота; ф₀ — начальная пб фаза в момент времени f = 0; ((o₀t + cp) — фаза колебаний в момент времени Г. В дальнейшем для описания гармонического колебания используется функция косинуса.

Из курса математики известно, что мгновенная скорость колеблющейся точки равна производной от координаты по времени:

где, А со о = г'_тах — амплитуда скорости.

Скорость меняется с течением времени по гармоническому закону, но фаза скорости сдвинута относительно фазы координаты на п/2 (фаза скорости опережает фазу координаты).

Ускорение колеблющейся точки равна производной от скорости по времени или второй производной от координаты по времени:

где a_max = Acoq — амплитуда ускорения.

Скорость v и ускорение а изменяются по гармоническому закону, как и смещение х, но фаза скорости и фаза ускорения опережают фазу смещения соответственно на п/2 и л.

Графики зависимости от времени смещения х, скорости v и ускорения а (принимая, что (р = 0) представлены на рис. 5.3.

Сила, действующая на колеблющуюся точку:

где х = Acos (co₀t + ф).

Кинетическая энергия точки, совершающей гармонические колебания, описывается выражением:

или.

Рис. 5.3

Из приведенного выше уравнения следует, что мгновенное значение кинетической энергия Е_к материальной точки изменяется по гармоническому закону с удвоенной частотой 2(о₀ самого колебания. На рис. 5.4 представлены графики зависимости смещения х и кинетической энергии Е_к гармонического колебания от времени.

Рис. 5.4