Понятие порядка аппроксимации

Выясним, с какой точностью конечные разности (2.5), (2.6), (2.7) аппроксимируют значение производной функции и (х) в точке х. Для этого разложим значения и jв ряд Тейлора относительно точ ки х.:

Подставляя выражение (2.9) в правую конечную разность (2.5), получаем:

Первое слагаемое в правой части выражения (2.11) является производной функции и (х) в точке х._}, а все остальные составляют так называемую ошибку аппроксимации, показывающую насколько значение производной функции и (х) в точке x_j, определяемое с помощью разностного оператора, аппроксимирующего эту производную, отличается от её истинного значения.

Так как производные любых порядков функции и (х) ограничены в точках интервала [а; 6], при h -" 0 наиболее существенный вклад в ошибку аппроксимации вносит слагаемое, в котором порядок h наименьший. На основании этого говорят, что рассматриваемая конечная разность имеет порядок аппроксимации по Л, соответствующий этой наименьшей степени h в выражении для ошибки аппроксимации.

Таким образом, понятие «порядок аппроксимации» характеризует точность, с которой разностный оператор аппроксимирует производную функции и (х) в точке Xj: чем выше порядок аппроксимации, тем точнее аппроксимация и, соответственно, меньше её ошибка.

В случае правой конечной разности наибольший вклад в ошибку аппроксимации вносит второе слагаемое в правой части выражения (2.11) и, следовательно, правая конечная разность имеет первый порядок аппроксимации, что записывается в виде:

Подставляя выражение (2.10) в левую конечную разность (2.6), получаем:

Таким образом, левая конечная разность также имеет первый порядок аппроксимации.

Подставляя выражения (2.9), (2.10) в центральную конечную разность (2.7), получаем:

Видно, что центральная конечная разность имеет второй порядок аппроксимации и, следовательно, значение производной функции и (х) в точке Xj, полученное при использовании центральной конечной разности, будет ближе к истинному значению, чем при использовании правой или левой конечных разностей.

Разностная аппроксимация производной второго порядка

Рассмотрим вторую производную функции и (х) в точке Xj:

Поскольку первая производная функции и (х) является некоторой функцией w (x) от той же независимой переменной х, что и сама функция тогда вторую производную функции н (лг) можно представить как первую производную функции w{x):

Аппроксимируя производную функции ш (дг) в точке х_} правой конечной разностью (2.5), получаем:

Используя для аппроксимации производной функции u (x) левую конечную разность (2.6), разностный оператор для аппроксимации второй производной функции и (х) в точке можно представить в следующем виде:

Определим порядок аппроксимации полученного разностного оператора. Подставляя соотношения (2.9), (2.10) в (2.12), получаем:

Таким образом, разностный оператор (2.12), аппроксимирующий вторую производную функции и{х) в точке хj, имеет второй порядок аппроксимации.