Предел функции. 
Анализ определения математической функции

Начнем рассмотрение этого вопроса с примера. Дана функция. Рассмотрим ее предел. Дробь с ростом монотонно убывает, принимая только положительные значения. Следовательно, ее предел не может быть отрицательным числом. Рассмотрим положительное число. Может ли оно быть пределом данной функции при? Очевидно, нет, так как при дробь принимает значения, меньшие этого числа. История повторяется, если взять в качестве предела любое другое, сколь угодно малое число. Все это позволяет утверждать, что. Итак, предел функции при совпадает с пределом последовательности. Однако, в отличие от предела последовательности x не обязательно должен стремиться к бесконечности. Можно рассмотреть, например,. Если стремить x к нулю, подходя к этой точке справа или слева, с уменьшением x дробь возрастает, и при очень малых значениях x она принимает сколь угодно большие положительные значения. Ясно, что. Можно вычислить. Исследуя график этой функции, устанавливаем, что с какой стороны не приближаться к точке 3, получаем.

.

Отсюда следуют два заключения. Первое — в отличие от предела последовательности, когда n всегда стремится к бесконечности, предел функции можно вычислять при стремлении x к любому числу. Второе — предел функции показывает, к чему стремится функция при подходе к предельной точке, поэтому вычисление пределов имеет смысл только тогда, когда в предельной точке функция не существует, в других точках проще подсчитать ее значение непосредственной подстановкой. Так функция при имеет значение. Очевидно, график этой функции приведет нас в точку. Никаких пределов вычислять не надо. В то же время, не имея возможности вычислить значение функции при, но зная, что можно утверждать, что график функции при возрастании x все ближе и ближе подходит к оси. Аналогично, не имея возможности подсчитать значение функции при (деление на нуль) и зная, что, можно установить, что при подходе к этой точке как слева, так и справа функция принимает все большие значения, уходя в бесконечность вдоль оси .

Дадим математические определения предела функции.

Определение 1. Число b называется пределом функции при, если для любой сходящейся к a, последовательности значений аргумента функции, соответствующая ей функциональная последовательность сходится к b.

Это определение обобщает рассмотренные выше примеры, однако не дает возможности вычислять пределы. В самом деле, выбрав некоторую последовательность значений аргумента, подходящую к предельной точке, скажем, справа и установив, что соответствующая ей функциональная последовательность, мы ничего еще не доказали, поскольку всегда остается вопрос, а для другой последовательности, но слева, будет ли также стремиться к b? А для третьей, четвертой? Приведем пример, когда для разных последовательностей последовательности стремятся к разным значениям. Рассмотрим функцию. И посмотрим, как она ведет себя при? Выберем последовательность значений аргумента.

.

где n — натуральное число. Очевидно, при, оставаясь положительным, то есть последовательность подводит нас к точке 0 справа. Ясно и то, что дробь при приближении к нулю возрастает, оставаясь положительной и, следовательно, стремится к плюс бесконечности. Рассмотрим другую последовательность аргументов.

.

Очевидно, принимает отрицательные значения, также стремясь при этом к нулю. Итак,, а дробь, возрастая по величине, отрицательна, следовательно, стремится к минус бесконечности. Итак, при подходе к предельной точке справа функциональная последовательность.

.

а при подходе слева функциональная последовательность Отсюда следует, что в соответствии с определением не существует. Как быть в таких случаях, рассмотрим позднее.

Определение 2.

.

Словесная формулировка этого определения: число b называется пределом функции при x стремящемся к a, если для любого положительного существует такое, что при выполнении неравенства, выполняется неравенство .

В литературе имеется доказательство эквивалентности этих двух определений.