Формула Маклорена. 
Математика в экономике

Формулой Маклорена** называется формула Тейлора (10.6) при д = 0:

Здесь остаточный член имеет вид:

•Пеано Джузеппе (1858—1932) — итальянский математик. ••Маклорен Колин (1698—1746) — шотландский математик.

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

Один из основных принципов математики — представление сложного через более простое. Формулы Тейлора и Маклорена как раз являются реализацией этого принципа. Любые функции, удовлетворяющие условиям теоремы Тейлора, с достаточной степенью точности могут быть представлены в виде многочлена п-й степени. Многочлены же — наиболее простые элементарные функции, над которыми удобно выполнять арифметические действия, вычислять значения в любой точке и т. д.

Формулы (Ю.6) и (10.12) дают возможность разложить функцию/(х) по формуле Тейлора (в окрестности точки а) и по формуле Маклорена (в окрестности нуля) или, что-то же самое, представить/(х) в виде многочленов, коэффициенты которых вычисляются достаточно просто. Эти формулы широко используются и для приближенных вычислений значений различных функций; при этом погрешность вычислений оценивается по остаточному члену в форме Лагранжа.

Выведем рахпожения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

I./W — *^х.

Поскольку/" (*) = е^х,/^(л)(0) * е° = 1 для любого п, формула Маклорена (10.12) имеет вид:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Формула (10.13) используется для вычисления числа е с любой необходимой точностью. Запишем ее с остаточным членом в форме Лагранжа при х — 1:

Отбрасывая последнее слагаемое, получаем приближенное значение числа с ~ 2,7 182 818…, причем погрешность расчета оценивается по формуле Например, при п = 7 погрешность вычисления числа е составит менее 7,44 • 10~⁵, или менее 0,01%.

3. /(х) * COS X.

Поскольку f⁽ⁿ⁾ = cos^x + //^ j,.

Подстановка в формулу (10.12) приводит к разложению по формуле Маклорсна:

4. /(х) = In (1 + х).

Так как = (-1)" «¹ ^ /(0) = 0, /^ы(0) = (-1)» «¹ (/i -1)!; подстанов;

(1 + х)".

ка в формулу (10.12) приводит к разложению функции In (1 + х) по формуле Маклорена (при этом 0! = 1):

5. /(1 + х)^а, где, а — вещественное число.

/(х) = а (а — 1) (а — 2)… (а — п + I) (I + х)^а" ^я, т. е./^(я>(0) = а (а — 1)… (а — п + 1), и формула Маклорена для данной функции имеет вид:

В частном случае, когда, а = п — целое число,/^<�л * = 0, и формула (10.17) переходит в формулу бинома Ньютона:

т.е. бином Ньютона является частным случаем формулы Маклорена.

6. /(х) = arctg х.

Путем последовательного дифференцирования этой функции можно установить, что

Тогда формула Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

Формула Маклорена в асимптотических формулах и вычислениях пределов функций

Формулы (10.13)—(10.17) и (10.19) представляют собой асимптотические формулы (или оценки) соответственно для функций е^х, sin х, cosx, In (1 + х),.

(1 + х)^а и arctg х при х -" 0. Указанные асимптотические формулы эффективно используются при вычислении пределов функций. Покажем это на примерах.

Пример 5. Найти предел lim ^Sin* ^Х.

х-*0 xⁱ

Применяя формулу (10.14) при п = 2, получаем:

п^, «. cos х — exp (-х² /2).

Пример 6. Найти предел lim—-—.

х-*0 jc⁴

х²

Используем формулы (10.13) при г =—и п = 2 и (10.15) при п = 2. Получаем.

при подстановке в выражение под знаком предела: