Решение уравнения Шредингера для свободной частицы
Рассмотрим теперь обратную задачу и проанализируем стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы (U = 0), движущейся вдоль оси х. В одномерном случае оператор Лапласа сводится к второй производной, но координате, так что из формулы (34.13) имеем. Решением такого уравнения является комплексная функция j/(.r) = Acxp (ikx). В соответствии с описывающей комплексные числа формулой Эйлера… Читать ещё >
Решение уравнения Шредингера для свободной частицы (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Рассмотрим теперь обратную задачу и проанализируем стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы (U = 0), движущейся вдоль оси х. В одномерном случае оператор Лапласа сводится к второй производной, но координате, так что из формулы (34.13) имеем.
Известным решением такого уравнения (это можно проверить прямой подстановкой) является функция у (х) = Aexp (ikx), где Л и к являются константами, причем собственные значения энергии.
E = ft2k2/(2m) (34.29).
определяются константой к. Спектр энергий является в данном случае непрерывным. Функция.
представляет собой только координатную часть волновой функции (х, t) (34.10), которая должна быть дополнена зависящей от времени составляю;
. С учетом этого получаем известную нам одномерную моно;
щей ехр —?/ .
I h
хроматическую волну де Бройля (34.1) с волновой функцией |/(.r , t) =
i
= Лехр[ —/(cot — kx)] = Л exp ~(px — Et) .
n
Ей соответствует нс зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства.
которая одинакова в люоой точке пространства.
Контрольные вопросы и задания
- 34.1. Выведите уравнение Шредингера для свободной частицы.
- 34.2. Выведите общее уравнение Шредингера.
- 34.3. Выведите стационарное уравнение Шредингера.
- 34.4. Выведите стационарное уравнение Шредингера в операторной форме.
- 34.5. Выведите формулы для операторов Гамильтона и импульса.
- 34.6. Сформулируйте теорему Эренфеста и ее следствия.
- 34.7. Получите решение уравнения Шредингера для свободной частицы.
с решением
34.1. Найдем действительную часть решения стационарного уравнения Шредингера для свободной частицы.
Решение
Стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы (11 = 0), движу;
2т
щсйся вдоль оси х, имеет вид — + —— Еу = 0.
ах1 й2
Решением такого уравнения является комплексная функция j/(.r) = Acxp (ikx). В соответствии с описывающей комплексные числа формулой Эйлера (33.6) действительная часть решения стационарного уравнения Шредингера для свободной частицы равна 1л(х) = Л cos (kx).
для самостоятельного решения
34.2. Найдите плотность вероятности обнаружения свободной частицы с волно;
i
вой функцией f (x, 1) = Л exp — (рх — El) в точке пространства с координатой х = а
п
в момент времени t = Ь.