Решение уравнения Шредингера для свободной частицы

Рассмотрим теперь обратную задачу и проанализируем стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы (U = 0), движущейся вдоль оси х. В одномерном случае оператор Лапласа сводится к второй производной, но координате, так что из формулы (34.13) имеем.

Известным решением такого уравнения (это можно проверить прямой подстановкой) является функция у (х) = Aexp (ikx), где Л и к являются константами, причем собственные значения энергии.

E = ft²k²/(2m) (34.29).

определяются константой к. Спектр энергий является в данном случае непрерывным. Функция.

представляет собой только координатную часть волновой функции (х, t) (34.10), которая должна быть дополнена зависящей от времени составляю;

. С учетом этого получаем известную нам одномерную моно;

щей ехр —?/ .

I ^h

хроматическую волну де Бройля (34.1) с волновой функцией |/(.r , t) =

i

= Лехр[ —/(cot — kx)] = Л exp ~(px — Et) .

n

Ей соответствует нс зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства.

которая одинакова в люоой точке пространства.

Контрольные вопросы и задания

• 34.1. Выведите уравнение Шредингера для свободной частицы.
• 34.2. Выведите общее уравнение Шредингера.
• 34.3. Выведите стационарное уравнение Шредингера.
• 34.4. Выведите стационарное уравнение Шредингера в операторной форме.
• 34.5. Выведите формулы для операторов Гамильтона и импульса.
• 34.6. Сформулируйте теорему Эренфеста и ее следствия.
• 34.7. Получите решение уравнения Шредингера для свободной частицы.

с решением

34.1. Найдем действительную часть решения стационарного уравнения Шредингера для свободной частицы.

Решение

Стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы (11 = 0), движу;

2т

щсйся вдоль оси х, имеет вид — + —— Еу = 0.

ах¹ й²

Решением такого уравнения является комплексная функция j/(.r) = Acxp (ikx). В соответствии с описывающей комплексные числа формулой Эйлера (33.6) действительная часть решения стационарного уравнения Шредингера для свободной частицы равна 1_л(х) = Л cos (kx).

для самостоятельного решения

34.2. Найдите плотность вероятности обнаружения свободной частицы с волно;

i

вой функцией f (x, 1) = Л exp — (рх — El) в точке пространства с координатой х = а

п

в момент времени t = Ь.