Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)

Особенность на левом конце промежутка интегрирования

Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку, и имеет бесконечный предел при. Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b]называется предел. Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.

Пример 1. 1:

— интеграл расходится;

Пример 2. 2:

— интеграл сходится.

Применение формулы Ньютона-Лейбница. Если для функции f(x) на полуинтервале (a, b] существует первообразная F(x), то.

.

и сходимость интеграла определяется наличием или отсутствием конечного предела. Будем писать просто.

.

имея в виду, что если соответствующий предел конечен, то интеграл сходится, в противном случае-расходится.

1. (интеграл сходится).

2. (интеграл расходится).

В следующих дальше случаях неограниченности функции будем поступать аналогично.

Особенность на правом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале [a, b), интегрируема по любому отрезку, и имеет бесконечный предел при. Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b]называется предел. Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.

Особенность во внутренней точке промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b], имеет бесконечный предел при стремлении аргумента к какой-либо внутренней точке c этого отрезка:, интегрируема по любому отрезку, не содержащему точку c. Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется. Интеграл сходится, если оба эти пределы существуют и конечны, в противном случае интеграл расходится.

Несколько особенностей на промежутке интегрирования. Этот случай сводится к предыдущим. Пусть, например, функция имеет бесконечные пределы при стремлении аргумента к внутренним точкам c₁, c₂, c₃ отрезка [a, b](a < c₁ < c₂ < c₃ < b) и правому концу b, и интегрируема по любому отрезку, не содержащему эти точки. Тогда несобственный интеграл определяется как.

.

Здесь d₁, d₂, d₃ — произвольные точки, удовлетворяющие неравенствам a < c₁ < d₁ < c₂ < d₂ < c₃ < d₃ < b.

Пример 1:

.

и интеграл расходится, так как все три предела бесконечны. Решение с применением формулы Ньютона-Лейбница:

— расходится, так как первообразная обращается в бесконечность в точке x = -1.