Теорема Гаусса и циркуляция вектора В

Магнитное поле, созданное одним прямолинейным током, — явление редкое. В жидком ядре Земли, в электродвигателях, отклоняющих системах электронно-лучевых трубок и т. д. токи имеют более сложные конфигурации. Как и при расчете электростатических полей, использовать принцип суперпозиции в таких случаях бывает сложно, и потому прибегают к свойствам потока и циркуляции вектора В.

Элементарный поток вектора В через площадку dS определяется, как и для других векторов (см. параграф 5.2):

Отсюда определяется единица потока магнитной индукции (или магнитного потока), которая называется вебер (Вб) — в честь немецкого физика В. Э. Вебера (1804—1891): 1 Вб = 1 Тлм². Существенное отличие Ф_в от состоит в том, что линии вектора В всегда замкнуты, поскольку не имеют никаких источников или стоков, что связано с отсутствием в природе магнитных зарядов.

ВОПРОС. Чему равен поток вектора В через замкнутую поверхность?

ОТВЕТ. Результат получен при рассмотрении электростатического поля (см. параграф 5.2). Если линии поля в объеме не исчезают и нс возникают, то он всегда равен нулю.

В этом и состоит теорема Гаусса для вектора В: поток вектора В через любую замкнутую поверхность равен нулю:

Для определения циркуляции вектора В (см. параграф 5.3) мысленно проведем окружность L, в плоскости чертежа, через центр которой по бесконечно длинному прямому проводу течет ток / «от нас» (рис. 6.2). Поскольку направление обхода контура (пунктирная стрелка) совпадает с направлением линии вектора В, то Вdl = Bdl = p₀Ida/(2n), где использовано равенство (6.2) и учтено соотношение dl = Rda. Следовательно,.

Рис. 6.2.

Для произвольного контура L, (см. рис. 6.2) В dl' = B (dl') cosp = Bdl, и потому выражение (6.5) остается в силе. Если при том же направлении обхода контура ток имеет обратное направление, то Bdl = -Bdl, т. е. 1 в правой части выражения (6.5) — величина алгебраическая. Отсюда следует, что / > О, если направления тока и обхода контура связаны правилом правого винта. Если ток проходит вне площади, охваченной контуром, то нетрудно показать, что циркуляция равна нулю. Если же контур охватывает несколько токов, то в соответствии с принципом суперпозиции.

т.е. циркуляция вектора В по произвольному контуру равна алгебраической сумме охваченных им токов, умноженной на р₀.