Основные свойства изоморфизмов групп

Пусть/— изоморфизм группы (G, •) на группу 1; о).

1. При изоморфизме единица е группы (G, •) переходит в единицу е_х группы (G_x, °).

Доказательство. Докажем, что образ единицы Де) является единицей в G_x. Возьмем произвольный элемент а_х е G_x. Так как, по определению изоморфизма, / является отображением на G], то dj имеет прообраз в G, т. е. существует а е G, такой что Да) = а_х. Но тогда а_х °/(е) =/(а) ° Де) = Да • е) = Да) = а_х. Аналогично устанавливаем, что Де) ° а_х = а_х. Следовательно, Де) — единица в G_x, а так как в группе (G_x, °) единица е_х единственна, то Де) = е_х.

2. Для любого, а е G Да'¹) = (/(а))^-1, т. е. образ обратного элемента равен обратному для образа этого элемента.

Доказательство. Обозначим Да) = а_х и докажем, что /(а^-1) = аД. Имеем: Да^-1) °/(а) = /(а-¹ • а) =/(е) = е_х. Аналогично доказывается, что Да) ° Дет¹) = е_х. Следовательно, Да^-1) является обратным для элемента Да) = а_х. Но в группе (G_x, о) для элемента а_х обратный элемент af¹ единственный. Следовательно, /(a^-1) = af¹ = (/(а))^-1.

3. Обратное отображение /^-1 является изоморфизмом группы X, о) на группу (G, ?).

Доказательство. Поскольку / является взаимно однозначным отображением G на G_x, то/^-1 является взаимно однозначным отображением множества G_x на множество G. Возьмем произвольные элементы а_ь b_x е G_x. Существуют a, b е G, такие что Да) = a_x,/(b) = Ь_х. Из равенства Да • b) =/(а) °/(Ь) выводим, что, а • b = /^-1(Да) «/(b)). Поскольку, а = /-¹(а₁), Ъ = Д¹(Ь₁), то, производя замену, получаем/^-1 (а _х) -/^-1(Ь_х) =/^-1(а_х ° Ь_х). Следовательно,/^-1 является изоморфизмом группы (G_x, °) на группу.

(G, •)•

Благодаря свойству 3 можно говорить об изоморфных группах. Если группы G и G_x изоморфны, то пишут: G = G_x (читается: группа G изоморфна группе Gj). Группы изучаются с точностью до изоморфизма, т. е. с точностью до обозначений элементов и групповых операций.