Математическое и компьютерное моделирование

Как уже отмечалось в главе 9, целенаправленная деятельность человека связана с постоянной необходимостью принимать решения. Наряду с прогнозированием, планированием, ситуационным анализом обстановки, контролем и учетом, принятие решений является одной из функций управления. Заметим, что при прогнозировании и планировании тоже принимаются решения, связанные с выбором методов и средств, организацией работы, оценкой достоверности информации, выбором наилучшего варианта плана. Таким образом, функция принятия решений является с методологической точки зрения более общей, чем другие функции управления.

Основным критерием оценки решения является его эффективность, т. е. степень достижения поставленных целей, величина затрат на реализацию решения. Решение тем эффективнее, чем выше степень достижения целей и чем ниже затраты.

Процесс принятия решения осложняет наличие недетерминированных параметров (неопределенных или случайных). В этом случае возникает проблема принятия решения в условиях неопределенности или риска, т. е. в условиях недостатка информации. Цена ошибки при принятии решений в правовой сфере, так же как в экономике и политике, может быть очень высока: оставшиеся не раскрытыми преступления, обанкротившиеся банки и предприятия, ухудшение условий жизни людей. Чем меньшей информацией располагает человек, тем большим может оказаться различие между ожидаемыми и реальными последствиями принятого решения.

Развитие и применение методов не только качественного, но и количественного анализа, математического и компьютерного моделирования в общественных и социальных науках может помочь проверить различные предположения и гипотезы, проанализировать эффективность того или иного набора мер и процедур, сравнить результаты их возможного воздействия на систему и т. д. Некоторый необходимый минимум сведений, касающихся математического и компьютерного моделирования приведен далее.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути дела, занимаются математическим моделированием: заменяют объект его математической моделью, которая затем и изучается.

В общем случае моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель). Для того чтобы подобное изучение имело смысл, модель должна находиться в объективном соответствии с познаваемым объектом, быть способной замещать его в определенных отношениях и давать при исследовании информацию о самом моделируемом объекте.

Связь математической модели с реальным объектом осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. На первом этапе математического моделирования, как правило, строится особая идеальная конструкция, содержательная или концептуальная модель. На втором этапе с помощью математических методов (уравнений, неравенств, функций и т. п.) описывается идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования. Полученная математическая конструкция называется формальной моделью, или просто математической моделью, полученной в результате формализации содержательной модели.

В ряде давно развивающихся и устоявшихся естественных дисциплин построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций. Например, в механике идеальные пружины, твердые тела, идеальные маятники и т. п. дают уже готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в тех областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий, создание содержательных моделей резко усложняется. Это относится, например, к новейшим разделам физики и биологии и к социально-экономическим наукам, таким как экономика, социология, психология или право.

Приведем далее одну из классификаций содержательных моделей, используемых в естественных науках. Многие из них используются и в общественных науках.

• 1. Гипотеза. Эти модели представляют собой пробное описание объекта или явления. Если известные на данный момент следствия выдвинутой модели-гипотезы подтверждаются опытом, она считается удачной и временно признается за истину. Это ни в коем случае не означает, что исследование закончено, — только то, что пока гипотезу не удалось опровергнуть. Статус модели этого типа может быть только временным.
• 2. Феноменологическая модель. Данная модель содержит механизм для описания явления или объекта. Однако этот механизм недостаточно убедителен, недостаточно подтвержден имеющимися данными или плохо согласуется с накопленным знанием об объекте. В этом случае необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Роль модели в исследовании может меняться со временем; может случиться так, что новые данные подтвердят феноменологическую модель и повысят ее статус до уровня гипотезы. Аналогично новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа, и те могут быть переведены во второй.
• 3. Модель-приближение. Математическое описание объекта, например уравнения, может быть настолько сложным, что найти решение не удается даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае — использование приближений. Нелинейные уравнения можно попытаться заменить линейными, некоторые параметры посчитать очень малыми и т. п.

• 4. Модель-упрощение. В модели этого типа отбрасываются детали (иногда существенные), которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Заметим, что одни и те же уравнения могут являться моделью типа 3 (приближение) для одного объекта или моделью типа 4 (опущены некоторые существенные детали) для другого, — это зависит от сложности объекта, для изучения которого используется модель.
• 5. Эвристическая модель. Данная модель дает лишь качественное описание объекта, количественные предсказания в лучшем случае можно получить «по порядку величины». Тем не менее, модель способствует более глубокому проникновению в суть дела.
• 6. Аналогия. В новейших областях науки далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта (эвристическая). В этом случае часто пользуются моделями «по аналогии» с уже известными явлениями. Эти модели отражают действительность хотя бы в одной существенной черте.
• 7. Мысленный эксперимент. Главный смысл мысленного эксперимента состоит в опровержении возможности некоторого явления.
• 8. Демонстрация возможности. Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что рассматриваемое явление согласуется с базовыми закономерностями и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые раскрывают внутренние противоречия.

Ориентируясь на формальные модели, которые строятся на втором этапе математического моделирования, можно предложить формальную классификацию математических моделей. В ее основу будет положено различие используемых в модели математических средств. Различают, например, следующие модели.

• • Линейные и нелинейные. Если все математические операторы и уравнения в модели удовлетворяют условию линейности, модель является линейной. Примеры несложных линейных уравнений и систем уравнений всем знакомы из школьного курса математики. Если же хоть одно из уравнений или ограничений линейным не является, математическая модель также будет нелинейной.
• • Статические и динамические. Динамическая модель отслеживает зависящие от времени изменения состояния системы, в то время как статическая (или стационарная) модель рассматривает систему «в равновесии», и, следовательно, от времени не зависит.
• • Дискретные и непрерывные. Переменные величины могут быть двух типов: дискретные, т. е. принимающие, «оторванные» друг от друга значения и допускающие естественную нумерацию (1-я, 2-я, 3-я и т. д.), и непрерывные, принимающие все значения из некоторого интервала. Подобным образом и математические модели могут быть либо дискретными, описывающими «отдельные частицы», либо непрерывными, представляющими объект в непрерывном режиме «потока». Между этими типами моделей нет принципиального барьера и при уточнении или видоизменении модели дискретная картина может стать непрерывной и обратно; то же может произойти в процессе решения математической задачи.
• • Детерминированные и стохастические. В детерминированной модели каждому набору значений параметров модели соответствует единственный, однозначно определяемый результат моделирования. В стохастической модели присутствует случайный фактор, т. е. параметры модели и характеристики состояния изучаемого объекта представлены случайными величинами и связаны вероятностными зависимостями. Соответственно, и результатом моделирования будет не единственный набор значений переменных модели, а вероятностные распределения этих переменных.
• • Решающие прямую задачу моделирования и решающие обратную задачу моделирования. Если все входные параметры модели известны, а ее выходные параметры могут быть найдены с помощью последовательности вычислений, то говорят, что решается прямая задача моделирования. Если же известны выходные параметры (т.е. то, что хотим получить в результате), а требуется найти значения каких-либо входных параметров, обеспечивающие данный результат, то решается обратная задача моделирования. Какую статическую нагрузку выдержит мост при заданных строительных параметрах? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на прохождение поезда на различной скорости), — вот типичный пример прямой задачи. Если же известно, какую нагрузку должен выдерживать мост, а требуется определить детали его конструкции или тип материала, который следует применить, то это уже пример обратной задачи.

Этот список можно продолжать и дальше. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической… Возможны и смешанные типы моделей.

Математическое моделирование применялось для анализа научных проблем задолго до появления компьютеров. Возникновение и развитие вычислительной техники создало новый инструмент для математического моделирования и привело к появлению его следующего этапа: на этом этапе математическая модель становится моделью компьютерной. Компьютерные модели позволяют изучать поведение объектов и систем, слишком сложных для аналитического исследования.

Для формальной математической модели реального объекта, записанной в виде алгебраических, дифференциальных и других уравнений, разрабатывается алгоритм, позволяющий найти точное или приближенное решение этих уравнений. Затем пишется, тестируется и применяется для расчетов компьютерная программа, реализующая этот алгоритм.

Существует немало объектов, для которых по различным причинам не созданы аналитические модели либо неизвестны методы нахождения решений полученной модели. В этом случае можно применить имитационное моделирование. При имитационном моделировании компьютерная модель (алгоритм и программа) воспроизводит (имитирует) функционирование исследуемого объекта. Компьютерная модель отлаживается на пробных заданиях, ответы на которые заранее известны. После того, как адекватность (достаточное соответствие) компьютерной модели исходному объекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные вычислительные эксперименты, позволяющие исследовать отклик моделируемой системы на изменение ее параметров и начальных условий.

Вычислительные эксперименты являются незаменимым инструментом исследователя тех случаях, когда реальные эксперименты слишком дороги, опасны или невозможны (как, например, в астрофизике и, во многих случаях, в политике). Анализ полученных данных, их сопоставление с поведением реального объекта позволяют, при необходимости, уточнить модель.

Чем больше значимых свойств исследуемого объекта будет выявлено и перенесено в компьютерную модель, тем более приближенной она окажется к реальности, тем большими возможностями будут располагать исследователи, специалисты или лица, принимающие решение, которые эту модель используют.

Вопросы и задания для самоконтроля

• 1. Что такое алгоритм?
• 2. Перечислите свойства алгоритмов.
• 3. Что такое псевдокод и для чего он используется?
• 4. В чем достоинство блок-схем как способа описания алгоритмов?
• 5. Что такое языки программирования и для чего их создают?
• 6. Что такое алфавит, синтаксис и семантика языка программирования?
• 7. В чем состоит различие языков программирования низкого и высокого уровня?
• 8. Для чего используется условный оператор (оператор ветвления)?
• 9. Какие виды условных операторов ветвления вы знаете?
• 10. Какие виды циклов вы знаете?
• 11. Что такое подпрограмма?
• 12. Сравните различные парадигмы программирования, отметив их особенности и различия.