Явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью

Исследование устойчивости

Исследуем устойчивость разностной схемы (5.2) с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член f (tn, Xу), наличие которого не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7):

Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на Xⁿe^taj, и выражаем X:

Рис. 5.1. Графическая интерпретация условия устойчивости (5.6).

Комплексный вид полученного выражения свидетельствует о том, что необходимое условие устойчивости разностных схем (3.8) также следует рассматривать в применении к комплексным числам. То есть, неравенство.

означает, что для того чтобы разностная схема была устойчива, необходимо чтобы собственные числа оператора перехода были расположены внутри или на границе круга радиусом 1, центр которого находится в начале координат комплексной плоскости (рис. 5.1).

1) Рассмотрим случай и < 0. Введём следующее обозначение:

Полученное выражение свидетельствует о том, что собственные числа оператора перехода расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке (1 — г 0) и радиусом:

Рис. 5.2. Исследование устойчивости разностной схемы (5.2) при у О.

Рис. 5.3. Исследование устойчивости разностной схемы (5.2) при v > 0 и разностной схемы (5.3) при и < О Сравнивая расположение этой окружности на комплексной плоскости с условием (5.6), получаем три различных варианта (рис. 5.2). Видно, что окружность, соответствующая собственным числам оператора перехода, при г 1 — вне этого круга; а при г = 1 совпадает с его границей. Таким образом, при отрицательном значении параметра v явная разностная схема (5.2) будет устойчива при выполнении следующего условия:

Рассмотрим случай v > 0. Введём следующее обозначение:

Полученное выражение свидетельствует о том, что собственные числа оператора перехода расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке (1 + q 0) и радиусом q. Данная окружность находится вне круга, соответствующего условию (5.6) при любом значении q (рис. 5.3). Таким образом, при положительном значении параметра и явная разностная схема (5.2) будет неустойчива.

Обобщая полученные результаты, сделаем вывод, что явная разностная схема с аппроксимацией производной ди/дх правой конечной разностью (5.2) является условно устойчивой; условие устойчивости имеет вид:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 5.4. Разностный шаблон разностной схемы (5.2).

Метод решения

Рассмотрим метод решения разностной схемы (5.2). Разностный шаблон (рис. 5.4), характеризующий данную разностную схему, свидетельствует о том, что она содержит одну неизвестную величину — значение функции u (t, х) на (п + 1)-м шаге по времени. Выражая эту величину из разностной схемы, получаем рекуррентное соотношение.

позволяющее рассчитать все значения функции u (t> х) на (п + 1)-м шаге по времени (при известных значениях функции u (t, д:) на п-м шаге), кроме значения на правой границе, для определения которого, очевидно, требуется правое граничное условие:

На рис. 5.5 приведён алгоритм (в виде блок-схемы) решения явной разностной схемы с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью (5.2).

Рис. 5.5. Блок-схема решения разностной схемы (5.2).