Ряды. 
Движение заряженной частицы в поле квазимонохроматической и квазиплоской электромагнитной волны

В задаче поиска интегрируемых случаев, прежде всего, следует отталкиваться от представления рядом, т.к. при этом еще сохраняется общность задачи. Во всех случаях разложения по ортогональным функциям величины, и довольно хорошо аналитически выводимы, если, очевидно, аналитически выразима первообразная подынтегрального выражения преобразования Фурье от элементов ортогонального базиса. Поэтому интегрируемы в квадратурах наиболее часто используемые на практике представления рядом:

1. Ряд Маклорена, выражается через неполную «верхнюю» гамма-функцию, ;

2. Аппроксимирующий полином, аналогично предыдущему случаю. Вместе с тем, и берутся и путем интегрирования по частям [33, с. 134, 137];

3. Ряд Тейлора, степени раскрываются по биному Ньютона (— точка разложения), и интегрирование сводится к двум предыдущим случаям;

4. Ряд Лорана, степени раскрываются по биному Ньютона, правильная часть ряда интегрируется аналогично предыдущему случаю, при рекурсивном же интегрировании по главной части [33, с. 134, 137, 147] в, и неизбежно возникают интегральные синус, косинус и экспонента;

5. Ряд Дирихле, ,, причем, отметим, в пределе, если потребовать дополнительно, что при малых имеет место, получаем ;

6. Тригонометрический ряд Фурье, вычисление выполняется в элементарных функциях по формулам из [33, с. 147].

Существенным в представлении рядом является способ суммирования этого ряда. Пусть для лучшей сходимости некоторого функционального ряда используется обобщенная сумма через среднее по Колмогорову [34].

.

где — -ая частичная сумма ряда, а функция удовлетворяет ряду условий:

• 1)., ;
• 2). — однозначна, непрерывна и монотонна на сегменте (осуществляет биекцию);
• 3).: , (следствие из условия 2);
• 4)., ;

5)., (следствие из условий 3−4).

Все предыдущие указания об интегрируемости конструкций типа остаются справедливыми лишь для линейной функции (,), в частности при суммировании по Фейеру (,) [35, с. 273−276], а в общем случае при нелинейной аналитическое интегрирование становится невозможным. В этом случае, казалось бы, более пригодными оказываются формулы (2.44)-(2.45) из п. 2.3.1, однако при этом взятиеой производной в них по правилу дифференцирования сложной функции (— внешняя, а ее аргумент — внутренняя) чрезвычайно затруднено.