Перемещения от теплового воздействия

При тепловом воздействии любой материал изменяет форму. Поэтому необходимо различать деформации от силового и теплового воздействий.

При силовом воздействии на плоские расчетные схемы имеют место изгиб и растяжение (сжатие) (рис. 12.15, а). При тепловом воздействии происходит искривление и удлинение (укорочение) (рис. 12.15, в).

Последние виды деформаций изменяют только форму элемента, но не вызывают никаких напряжений в расчетных сечениях статически определимых систем.

При расчете на тепловое воздействие учитывается не температура окружающей среды, а ее ожидаемое изменение в процессе эксплуатации сооружения.

С целью упрощения инженерных расчетов вводится допущение о линейном характере изменения температуры, но высоте сечения элемента. Зная расположение нейтральной оси стержня, можно заданное изменение температуры разложить на два воздействия: на равномерный и неравномерный нагрев (рис. 12.16).

Рис. 12.16.

Равномерный нагрев характеризуется температурой t°₀ на уровне нейтральной оси стержня п — п и вызывает только удлинение или укорочение стержня.

При этом температура на уровне нейтральной оси в общем случае равна.

а при h_x=h₂ = 0,5h

Неравномерный нагрев характеризуется перепадом температур At, вызывающим искривление стержня из-за различия в удлинении волокон по высоте сечения стержня.

Рассмотрим деформации бесконечно малого элемента стержня dr (рис. 12.17) при тепловом воздействии отдельно для равномерного и неравномерного нагрева.

Рис. 12.17.

При действии равномерного нагрева удлинение (укорочение) бесконечно малого элемента стержня будет равно (рис. 12.17, а)

где a_t — коэффициент линейного расширения материала стержня.

При действии неравномерного нагрева основным показателем искривления является угол Adcp₍ (рис. 12.17, 6) между боковыми гранями элемента, значение которого определяют следующим образом.

Изменение длины крайних волокон по высоте сечения будет равно:

• • для нижних: Adx, = «,/;'dx;
• • для верхних: Adx, = a,?» dx.

Тогда.

или, так как (t'-t") = At (рис. 12.16), окончательно получим.

Для получения формулы определения перемещений от теплового воздействия рассмотрим линейно деформируемую расчетную схему (состояние f) при заданном тепловом воздействии (рис. 12.18, а) и вспомогательное состояние k с приложенной единичной силой по направлению искомого перемещения Для состояния k применим принцип возможных перемещений (12.15), приняв для него в качестве возможных перемещения состояния f.

Возможная работа внешних сил равна.

Рис. 12.18.

Возможная работа внутренних сил для плоской стержневой системы определяется выражением.

Подставив в (12.36) выражения деформаций от теплового воздействия (12.33) и (12.34) и вынося за знаки интегралов постоянные множители, не зависящие от интегрирования, получим.

В полученном выражении величины, стоящие под знаками интегралов, представляют собой площади эпюр N_k и М_к.

I 1

Обозначив Qy_k = J N_kdx и =$M_kdx, получим окончательное выра- 0 о жение для возможной работы внутренних сил:

Подставив (12.35) и (12.37) в (12.15), получим формулу для определения перемещений от температурного воздействия:

для которой применимо следующее правило знаков.

Каждый член формулы (12.38) при вычислении по участкам будет положительным при совпадении характера деформации от теплового воздействия (растяжения с удлинением или изгиба с искривлением) с характером деформации от единичной силы вспомогательного состояния.

Для первого члена формулы (12.38) знак может быть получен автоматически, если при вычислении значения? q и N_k подставлять со своими знаками.

Требуется определить вертикальное перемещение шарнира С и горизонтальное перемещение ригеля, а также характер деформированной схемы трехшарнирной рамы (рис. 12.19, а), если тепловому воздействию подвергаются ее стойки. Рама изготовлена из двутавра № 45 (h = 0,45 м, коэффициент линейного расширения стали а₍ = = 120- 10 ⁷ град"¹);

Рис. 12.19.

Решение. 1. Определим параметры температурного воздействия:

• • левая стойка: ?qi = 0,5(-45° + 15°) = -15°; At_{ = 115° - (—45°)| = 60°;
• • правая стойка: t°₀₂= 0,5(45° + 15°) = 30°; At₂ = |15° - 45°| = 30°.
• 2. Определим вертикальное перемещение шарнира С, для чего произведем расчет вспомогательного состояния 1 (рис. 12.19, 6) от единичной силы, приложенной по направлению искомого перемещения, г. е. определим опорные реакции и построим эпюры N_{ и Mj.

Значение перемещения определим по формуле (12.38), производя запись вычислений по участкам:

3. Определим горизонтальное перемещение ригеля рамы. При этом продольными деформациями в сечениях ригеля при определении перемещений пренебрегаем, так как ригель рамы не испытывает теплового воздействия.

Для определения искомого перемещения рассмотрим вспомогательное состояние 2 (рис. 12.19, в), для которого определим опорные реакции и построим эпюры N₂ и М₂.

Значение перемещения определим по формуле (12.38), производя запись вычислений по участкам:

• 4. Построим характер деформированной схемы рамы, для чего определим продольные деформации левой и правой стоек, подвергающихся тепловому воздействию:
  • — левая стойка: Д/" = а/₀₁1_л = 120Ю"^[1] *(-15°)-4,5 = -0.08М0-² м;
  • — правая стойка: Д/₂, =a_ttl₂l₂ = 120 * 10^-7 • 30° *4,5 = 0,162 * 10^-2 м.

Таким образом, левая стойка при заданном тепловом воздействии укорачивается, а правая — удлиняется.

Имея значения узловых перемещений рамы и зная характер искривления от теплового воздействия левой и правой стоек, можем построить характер деформированной схемы (рис. 12.19, г).

Рис. 12.20.

Возможная работа внешних сил равна

Так как при неравномерной осадке опор в стержнях заданной расчетной схемы усилий и соответствующих им деформаций не возникает, то работа внутренних сил W_Afe = 0. Поэтому на основании (12.15) имеем, что 7^ = 0, откуда.

В формуле (12.39) произведение под знаком суммы представляет собой возможную работу, потому если направление R) совпадает с направлением Д-, произведение положительно, если не совпадает — отрицательно.

Вывод формулы для определения перемещений, вызванных неточностью изготовления стержней, аналогичен предыдущему, и сама формула имеет вид.

где Nj — усилие в неточно изготовленном стержне, но вспомогательному состоянию; Л, — величина неточности изготовления стержня.

В формуле (12.40) перед знаком суммы, в отличие от (12.39), отсутствует знак «минус», так как работа внутренних сил отрицательна, а правило знаков произведения аналогично формуле (12.39).

Пример 12.6.

Требуется определить угол поворота сечения К консоли шарнирно-консольной балки при указанном смешении опор (рис. 12.21, а) и построить характер деформированной схемы.

Решение. 1. Во вспомогательном состоянии (рис. 12.21, б) приложим единичный момент в сечении К и определим реакции во всех смещаемых связях.

2. Используя формулу (12.39), определим угол поворота:

_ф/с = Д_1Л= -(0,05 • 0,06 — 0,125 • 0,08 — 0,375 • 0,04 + 0,25 • 0,02) = -0,01 рад.

3. Характер деформированной схемы балки показан на рис. 12.21, в. Деформированная схема построена, но известным смещениям опор.

Рис. 12.21.

Пример 12.7

Требуется определить изменение расстояния между опорами Ли В рамы (рис. 12.22, а), если ее затяжка изготовлена короче проектной на величину 0,06 м.

Рис. 12.22.

Решение. Вспомогательное состояние для определения перемещения показано на рис. 12.22, б. Так как опорная точка Л неподвижна, то для определения изменения расстояния между Л и В достаточно определить горизонтальное перемещение опоры В.

Усилие в затяжке для вспомогательного состояния Nj = 2.

Согласно формуле (12.40) перемещение опоры В

А_в = А_1Д= 2 • (-0,06) = -0,12 м.

Характер деформированной схемы рамы при данных перемещениях показан на рис. 12.22, в.

• [1] 12.5.3. Перемещения от неравномерной осадки опор и неточностиизготовления стержней Для получения формулы определения перемещений, возникающихпри неравномерной осадке опор, рассмотрим линейно деформируемуюрасчетную схему (состояние Д) при заданных смещениях опорных связей (рис. 12.20, а) и вспомогательное состояние k с приложенной единичнойсилой по направлению искомого перемещения Д^д. Для состояния k применим принцип возможных перемещений (12.15), приняв для него в качестве возможных перемещения состояния Д.