Прогнозирование на основе моделей временных рядов

Одна из важнейших задач (этапов) анализа временного (динамического) ряда, как отмечено выше, состоит в прогнозировании на его основе развития изучаемого процесса. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Задача ставится так: имеется временной (динамический) ряд y,(t = 1,2,…,/7) и требуется дать прогноз уровня этого ряда на момент п+т.

Выше, в § 3.5, 4.2, 4.5, мы рассматривали точечный и интервальный прогноз значений зависимой переменной К, т. е. определение точечных и интервсиьных оценок К, полученных для парной и множественной регрессий для значений объясняющих переменных X, расположенных вне пределов обследованного диапазона значений X

Если рассматривать временной ряд как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время», то к нему могут быть применены рассмотренные выше методы анализа. Следует, однако, вспомнить, что одна из основных предпосылок регрессионного анализа состоит в том, что возмущения е,(/ = 1,2,…, я) представляют собой независимые случайные величины с математическим ожиданием (средним значением), равным нулю. А при работе с временными рядами такое допущение оказывается во многих случаях неверным (см. об этом гл. 7, 8).

В данной главе мы полагаем, что возмущения s, (/= 1,…, п) удовлетворяют предпосылкам регрессионного анализа, т. е. условиям нормальной классической регрессионной модели (§ 3.4).

? Пример 6.4. По данным табл. 6.1 дать точечную и с надежностью 0,95 интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений спроса на некоторый товар на момент / = 9 (девятый год). (Полагаем, что тренд линейный, а возмущения удовлетворяют требованиям классической модели (см. дальше, пример 7.8.).

Решение. Выше, в примере 6.2, получено уравнение регрессии j>, = 181,32 + 25,679/, т. е. ежегодно спрос на товар увеличивался в среднем на 25,7 ед. Надо оценить условное математическое ожидание M_/=9(Y) = y (9). Оценкой у (9) является групповая средняя.

Найдем по формуле (3.26) оценку s² дисперсии а² (см. далее, табл. 7.1):

Вычислим оценку дисперсии групповой средней по формуле (3.33):

(здесь мы использовали данные, полученные в примере 6.2:

По табл. II приложений /о, 95;б⁼2,45. Теперь по формуле.

(3.34) интервальная оценка прогноза среднего значения спроса:

412,4−2,45 • 26,73 < у (9)< 412,4 + 2,45 • 26,73, или 346,9 < J^(9) < 477,9 (ед.).

Для нахождения интервальной оценки прогноза индивидуального значения у*(9) вычислим дисперсию его оценки по формуле (3.35):

а затем по формуле (3.36) — саму интервальную оценку для у* (9):

412,4—2,45 — 43,48 < у*{9) < 412,4+2,45*43,48, или 305,9 < ^*(9) < 518,9 (ед.).

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение спроса на товар на девятый год будет заключено от 346,9 до 477,9 (ед.), а его индивидуальное значение — от 305,9 до 518,9 (ед.)>

Прогноз развития изучаемого процесса на основе экстраполяции временных рядов может оказаться эффективным, как правило, в рамках краткосрочного, в крайнем случае, среднесрочного периода прогнозирования.