Критерии, отражающие точность оценок параметров

Поскольку однозначной характеристикой любого плана эксперимента является соответствующая ему информационная матрица, то многие статистические критерии логичным образом представляются как функционалы от информационной (или дисперсионной) матрицы [24].

План !;* называется D-оптимальным, если соответствующая ему дисперсионная матрица обладает наименьшим возможным значением определителя (или, что-то же самое, соответствующая информационная матрица обладает наибольшим возможным значением определителя), т. е.

План называется А-оптимальным, если соответствующая ему дисперсионная матрица обладает наименьшим значением следа, т. е.

План называется Е-оптимальным, если наибольшее собственное значение соответствующей ему дисперсионной матрицы минимально, т. е.

План называется Л-оптимальным, если сумма квадратов отклонений собственных чисел соответствующей ему дисперсионной матрицы от среднего их значения минимальна, т. е.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 10.1. Эллипсоид рассеяния оценок параметров.

Критерии, отражающие точность оценок параметров, имеют удобную геометрическую интерпретацию, основанную на понятии эллипсоида рассеяния оценок. Как отмечено в работе [15], вектор оценок параметров 0 является случайным и имеет некоторое распределение вероятностей Р (х, 0) с математическим ожиданием /;|0| = 0 и ковариационной матрицей D (Q) в пространстве параметров. Если необходимо сравнить качество различных оценок параметров одного и того же уравнения регрессии, следует, в первую очередь, сравнить свойства соответствующих им распределений, что в большинстве случаев представляет собой сложную статистическую задачу, зачастую не имеющую однозначного решения. Поэтому часто на практике применяют так называемый метод Крамера [15], согласно которому следует заменить исходное распределение эквивалентным ему (в смысле равенства первых двух моментов) равномерным распределением по некоторой области пространства параметров. Этот прием позволяет сравнивать между собой не сами исходные распределения, а размеры и конфигурации областей параметрического пространства, в пределах которых действуют эквивалентные распределения (рис. 10.1, k = 2).

При реализации того или иного плана эксперимента эллипсоид рассеяния будет иметь вид, определенный свойствами исходного плана. Следовательно, оптимальность по конкретному критерию будет соответствовать тому, что конфигурация эллипсоида будет принимать вполне конкретный вид, что и будет являться геометрической интерпретацией критерия оптимальности.

Для представленных выше критериев имеет место следующая интерпретация:

• • D-оптимальному плану соответствует эллипсоид рассеяния с наименьшим возможным объемом;
• • Л-оптимальному плану соответствует эллипсоид рассеяния с наименьшими габаритными размерами или, что-то же самое, с наименьшей средней дисперсией наилучших линейных оценок параметров;
• •^{-оптимальному} плану соответствует эллипсоид рассеяния с наименьшей максимальной полуосью;
• • А-оптималыюму плану соответствует эллипсоид рассеяния с наиболее шарообразной формой.